Производные высших порядков в нуле от f(x)=1/cos x

[Liub]

Нужно вычислить значения $f^{(n)}(0)$ для $f(x)=1/\cos x$.
Не судите строго =) по вопросу знаю про искомые значения для функции $f(x)=\cos x$.
Для данной функции взяла несколько первых производных и пыталась найти $f^{(n)}(x)$, но видимо я с тригонометрией не дружу((( сижу и туплю... подскажите как быть.

[Алексей К.]

Ранее написанные глупости удалены.

[Liub]

Алексей К. писал(а):

Т.е. поскольку $z(0;A)=0$, то вроде как все нули.

Там точно не все нули
(1, 0, 1/2, 0, ...)

С заменой мне не совсем понятно, ищу других путей.

Спасибо за помощь)

[Алексей К.]

Да, Вы правы, где-то ступил. Значит, спатки надо идти, утром подумать...

[ИСН]

Ну, мы знаем производную любого порядка от косинуса, также от $1/x$, и формулу Фаа ди Бруно - значит, "задача решается". А свернётся ли это к чему-то красивому - зависит от того, считать ли таковыми числа Эйлера.

[мат-ламер]

Не нашёл ничего более умного, чем загнать функцию в MAPLE и разложить её в ряд Тейлора. Какая-то закономерность в коэффициентах этого ряда (1, 5, 61, 1385, 50521, 2702765, ...) не прослеживается.

Добавлено спустя 2 минуты 9 секунд:

Возможно это и есть числа Эйлера, упомянутые в предыдущем посту.

[Liub]

Ой, извините

Цитата:

Там точно не все нули

(1, 0, 1, 0, 5, ...)

Цитата:

Какая-то закономерность в коэффициентах этого ряда (1, 5, 61, 1385, 50521, 2702765, ...) не прослеживается

Спасибо))) первые коэффициенты вычислила, боюсь в задаче найти f^{(n)}(0) их будет мало, а просто записать следующие как у вас - не будет решением(

[gris]

Зато есть закономерность, что все значения целые, а нечётные равны 0. Может быть и достаточно?

[мат-ламер]

Да, это действительно числа Эйлера. Нули при производных нечётной степени у меня пропущены, поскольку ясно, что функция чётная. Вот, нашёл про числа Эйлера у Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. стр. 68.

[Liub]

Все, кругом стала делать ошибки, думаю одно, пишу другое...
Вместо (1, 0, 1, 0, 5, ...) я хотела написать (1, 0, -1, 0, -5, 0, ...)

Добавлено спустя 1 минуту 38 секунд:

Цитата:

Ну, мы знаем производную любого порядка от косинуса, также от , и формулу Фаа ди Бруно - значит, "задача решается". А свернётся ли это к чему-то красивому - зависит от того, считать ли таковыми числа Эйлера.

Спасибо, сижу перевариваю формулу, может что красивое и получится...

Цитата:

Вот, нашёл про числа Эйлера у Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. стр. 68

Спасибо за помощь)

[мат-ламер]

Насчёт минусов ещё раз проверьте. Не очевидно.

[Liub]

Вот так
$f''(x)=(f'(x))'=(-sin(x)/cos^{2}(x))'=-{(1+sin^{2}(x)})/{cos^{3}(x)}
поэтому $f''(0)=-1$

[gris]

У первой производной минуса нет

[Liub]

Спасибо, я уже не могу ничего без ошибок сделать, надо бы мне временно остановиться...

[gris]

Рассмотрим однородный многочлен от переменных $c$ и $s$ с целыми
коэффициентами $P_n= a^{n}_0 c^n +a^{n}_1 c^{n-1}s + a^{n}_0 c^{n-2}s^2 + \cdots+a^{n}_n s^n$,
(где в выражении $a^n_k$ и $n$, и $k$ индексы)

Определим $P_1=s=0c+1s$

Определим переход от $P_n$ к $P_{n+1}$:

$P_{n+1}= (P_n)' \cdot c+(n+1)P_n\cdot s$

Здесь

$$(P_n)'= -na^{n}_0 c^{n-1}s -(n-1)a^{n}_1 c^{n-2}s^2 +a^{n}_1 c^{n} + \cdots+na^{n}_n s^{n-1}c$$

Далее следует пересчёт коэффициентов...
Это не так интересно.
Короче, получаем реккурентное соотношение.

Ну наверное понятно, к чему это все. $c=\cos x \quad s=\sin x \quad P_n $ - числитель n-ной производной. Потом подставим $c=1;\quad s=0$

Вотъ.