Задача на непрерывность

[Nimza]

Рассматриваются:
1) непрерывная функция

\[y = f(x)\]

, определенная на отрезке

\[ [0;1] \]

.
2) семейство прямых

\[y = const\]

.

Как доказать, что не существует такой функции

\[ f \]

, для которой график функции имеет с любой прямой семейства чётное число общих точек?

[Brukvalub]

Интересно, а бесконечное число точек пересечения - это нечетное число?

[Nimza]

По моим релизиозным убеждениям чётность определена только у конечных чисел (в вопросе именно они и имеются ввиду %)

[id]

Рассмотрите максимумы/минимумы, которые неизбежно будут между двумя точками пересечения с $y = const$, и которых будет нечетное число.

[Nimza]

id
а если

\[ f \]

подобна синусу на восьми периодах? То это ничуть не помогает: хоть и между любыми двумя точками пересечения будет нечётное число максимумов\минимумов, в сумме для всех точек пересечения их число чётно

[id]

Предлагается постепенно поднимать прямую до следующего максимума, который по предположению не изменяет четность остатка.

[Nimza]

Да, тогда в конце концов мы проведём прямую через нечётное число точек графика. Из рисунка это понятно. Но аналитически как отличить эту прямую от остальных?

[ewert]

id в сообщении #183695 писал(а):

Предлагается постепенно поднимать прямую до следующего максимума, который по предположению не изменяет четность остатка.

Так просто это не прокатит -- нарушение чётности может произойти как сверху, так и снизу.

[id]

ewert
Быть может, если изначально провести прямую через min функции и дальше поднимать этого удастся избежать? Процедура вроде бы не так уж некорректна.

[Nimza]

Так как доказать, что такое нарушение чётности действительно будет иметь место? (двигать вверх-вниз и потом считать общие точки - это ведь только графически помогает)

[id]

Почему только графически? Просто это неформальное описание процедуры.
Предположим, что сейчас на данном шаге имеет место четное пересечение с $f$ и между точками пересечения лежат максимумы, их нечетное число.
Возьмем наименьший из них, проведем через него еще одну $y=const$. Тогда четность числа оставшихся максимумов не изменится, оно останется нечетным.
Продолжим процедуру, получим противоречие.

[ewert]

id в сообщении #183708 писал(а):

четное пересечение с и между точками пересечения лежат максимумы, их нечетное число.

Не факт, что нечётное.

[gris]

Brukvalub писал(а):

Интересно, а бесконечное число точек пересечения - это нечетное число?

Действительно, если функция на каком-то интервале постоянна, то что с этим делать?
Если не рассматривать такие функции, то число экстремумов будет конечным.
Прямая, которая не проходит ни через один из экстремумов, будет иметь чётное число точек пересечения.

[ewert]

gris в сообщении #183742 писал(а):

Прямая, которая не проходит ни через один из экстремумов, будет иметь чётное число точек пересечения.

И вновь -- не факт, да к тому же и доказать надо противоположное.

(безусловно, участки постоянства и вообще бесконечные количества пересечений прямо запрещены условиями задачи)

[gris]

Упс. я почему-то подумал, что значения функции на концах постоянны.
Я так понял, что нужно доказать следующее:
Для любой непрерывной на отрезке функции $f(x)$ существует $C$ такое, что уравнение $f(x)=C$ имеет нечётное число корней.
Ну чтобы отойти от геометрии.
Я имел ввиду - что делать, например с функцией "из $(0;0)$ вверх - константа - вниз к $(1;0)$
Она с любой прямой имеет либо 0, либо 2, либо бесконечно много точек пересечения.