Супремум

[ewert]

Точная -- это такая, в сколь угодно малой окрестности которой найдётся хоть одна точка множества. В своём оригинальном доказательстве (которого я, впрочем, до конца так и не дочитал) автор пытался исходить именно из этого.

Я, кажется, понял, в чём недоразумение. Как обычно, в терминологии. "Неулучшаемость" можно понимать и как точность, и как наименьшесть.

[bot]

ewert в сообщении #183112 писал(а):

Точная -- это такая, в сколь угодно малой окрестности которой найдётся хоть одна точка множества.

Ну дык, опять не теорема, а простая перефразировка.
Пусть $s$ - точная, а $s'$ - наименьшая, следовательно $s'\leqslant s$.
Предположение $s'<s$ противоречит точности $s$.

[ewert]

При всей тривиальности доказательства -- оно всё же необходимо. Теорема -- это ведь не то, что доказывается долго и нудно. А то, что связывает между собой утверждения разных типов, пусть даже это различие и чисто внешне. Здесь как раз такой случай: обе формулировки идейны, и при этом звучат по-разному. Следовательно, их эквивалентность необходимо зафиксировать. Т.е. оформить как теорему.

[bot]

Ну, хорошо - сдаюсь. В случае линейной упорядоченности это одно и то же.
А вот в случае частичной упорядоченности понятие наименьшей верхней грани имеется, хотя и не утверждается существование, а определить понятие точности затрудняюсь.
К примеру взять решётку целых чисел относительно делимости, а в ней множество $\{6, 10\}$. Наименьшей верхней гранью будет их НОК, то есть 30. А что будет окрестностью числа 30? Если я возьму $\{1, 3, 5, 15, 30\}$, это будет окрестностью?

[ewert]

Об этом я как-то никогда не задумывался. Что ж, значит, в частично упорядоченном множестве это вещи действительно разные. Но ведь речь-то шла об обычных числах.

Да, а насчёт окрестности -- нет, конечно, не будет. Окрестностью (односторонней) точки 30 будет, например: 6, 12, 18, 24, 30. Или: 10, 20, 30.

[bot]

Я тоже не задумывался - видимо потому, что больше имел дело с частичными порядками, чем с линейными. В более общей ситуации некоторые понятия становятся различными, некоторые как здесь вообще пропадают.