Супремум

[Alexey1]

Скажите верно ли следующее доказательство.
Необходимо показать, что $\sup ( f(x)+g(x) ) \leqslant \sup f(x) +\sup g(x)$
По определению супремума запишем
$k=\sup f(x) \Leftrightarrow \forall e>0 \exists x \in X : k-e < f(x)$ (1)
$l=\sup g(x) \Leftrightarrow \forall e>0 \exists x \in X : l-e < g(x)$ (2)
$n=\sup (f(x)+g(x)) \Leftrightarrow \forall e>0 \exists x \in X : n-e < f(x)+g(x)$ (3)
Из (1) и (2) запишем $k+l-2e<f(x)+g(x)$.
Предположим, что $\sup ( f(x)+g(x) ) > \sup f(x) +\sup g(x)$ или $n>k+l$, тогда $\exists b>0, n-b>k+l$, но из (3) запишем $f(x)+g(x)>n-b>k+l$, что является противоречием.

Для доказательства возможности $\sup ( f(x)+g(x) ) = \sup f(x) +\sup g(x)$, рассмотрим $g(x)=f(x)$, тогда $\sup ( f(x)+g(x) ) = \sup(2f(x)) = 2\sup f(x) = 2k= \sup f(x) + \sup g(x)$.

Для доказательства возможности $\sup ( f(x)+g(x) ) < \sup f(x) +\sup g(x)$, рассмотрим $g(x)=-f(x)=-sin(x)$, тогда $\sup ( f(x)+g(x) ) = \sup(0) = 0 < \sup f(x) + \sup g(x)$.

[T-Mac]

все проще:
до восьмой строчки все так же, далее предельный переход в неравенстве, при эпсилон стремящимся к нулю справа.

[AD]

Alexey1 в сообщении #182953 писал(а):

$k=\sup f(x) \Leftrightarrow \forall e>0 \exists x \in X : k-e < f(x)$ (1)

Неверно. Сильно неверно. $-10\neq\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}x^2$, хотя $\forall\varepsilon>0$ $\exists x\in\mathbb{R}$ (скажем, $x=0$): $-10-\varepsilon<x^2$.

[T-Mac]

ну да, стрелочка в одну сторону дололжна быть...

[AD]

Alexey1 в сообщении #183015 писал(а):

Данное определение взято с http://planetmath.org/encyclopedia/Supremum.html.

При взятии допущено слишком много ошибок. Во-первых, забыли упомянуть, что $k$ уже заранее

Цитата:

is an upper bound

Во-вторых, и это куда важнее, там речь идет о супремуме множества $X$, а у вас - о супремуме функции $f$.

[Alexey1]

А разве множество значений функции не является множеством? Какое же тогда строгое определение супремума используя епсилон?

[T-Mac]

надо просто заменить X на domf

[AD]

Да, че-то я разнервничался, а вообще нормально. Ну, конечно, T-Mac всюду прав. Доказательство, в целом, верное.

Но можно проще.

Берем тривиальные утверждения: $\forall x$ $f(x)\le \sup f(x)$ и $g(x)\le \sup g(x)$. Складываем: $\forall x$ $f(x)+g(x)\le \sup f(x)+\sup g(x)$. Значит, $\sup f(x)+\sup g(x)$ - верхняя грань для $f(x)+g(x)$, и она не меньше точной верхней грани $\sup(f(x)+g(x))$, что и требовалось.

[мат-ламер]

Ничего не понял, как в исходном доказательстве, так и в последующих постах. Но что нам мешает поступить так? Уберём в доказываемом неравенстве супремум в левой части. Очевидно, что что полученное неравенство будет выполнимо для любого x. Затем опять добавим влево супремум.

Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды:

Прочёл сообщение от AD и понял, что написал тоже самое. AD прав.

[ewert]

AD в сообщении #183069 писал(а):

Но можно проще.
...
, и она не меньше точной верхней грани

Это, конечно, верно, но. Смотря как изначально определялся супремум. Видимо, автору изначально его определяли именно как точную верхнюю грань, а не как наименьшую. Вот он и пытался всё к этому свести. А то, что оба определения эквивалентны -- то ли запамятовал, то ли даже им запамятовали сообщить

[bot]

AD в сообщении #183069 писал(а):

Но можно проще...

Или так $\, \sup\limits_{x} (f(x) + g(x) ) \leqslant \sup\limits_{x, y} (f(x) + g(y) )=\sup\limits_{x} f(x) + \sup\limits_{x}g(x)$
Неравенство в силу расширения множества, а равенство из определения $A+B=\{ a+b | a\in A, b\in B\}$

[ewert]

Это хуже. Тот факт, что супремум суммы множеств равен сумме супремумов -- это некая теорема.

[bot]

ewert в сообщении #183079 писал(а):

Видимо, автору изначально его определяли именно как точную верхнюю грань, а не как наименьшую.

В термин грань обычно вкладыввается её точность, то есть неулучшаемость, что и означает наименьшую верхнюю границу. В вольном обращении термин грань частенько употребляется в смысле граница, поэтому если добавить к слову грань эпитет наименьшая, то этим маслом кашу не испортишь.
Ну а у ж обозначение $\sup f(x)$ стандартно понимается как верхняя грань значений функции $f(x)$ на каком то множестве, которое частенько и не указывают. В данном случае ясно, что под этим множествов подразумевают общую часть областей определения данных функций. Если общая часть пуста, то и супремумом будет $-\infty$ - спросите у профессора Снэйпа, он подтвердит.

Добавлено спустя 2 минуты 31 секунду:

ewert в сообщении #183099 писал(а):

Тот факт, что супремум суммы множеств равен сумме супремумов -- это некая теорема.

Да какая там теорема - это простое упражнение на знание определения. Под рукой Демидовича нет, а не то мог бы и номер сказать, где-то около или точно #20.

[ewert]

bot в сообщении #183100 писал(а):

В термин грань обычно вкладыввается её точность, то есть неулучшаемость, что и означает наименьшую верхнюю границу. В вольном обращении термин грань частенько употребляется в смысле граница, поэтому если добавить к слову грань эпитет наименьшая, то этим маслом кашу не испортишь.

Я не очень понял, о чём речь, а имел в виду следующее. Супремум можно определять как точную верхнюю границу. А можно -- как наименьшую верхнюю границу. То, что оба определения эквивалентны -- это теорема. А какое из них считать исходным -- дело вкуса. Точнее -- того, как определяются вещественные числа. Если, скажем, по Дедекинду, то исходное -- второе.

[bot]

ewert в сообщении #183103 писал(а):

Супремум можно определять как точную верхнюю границу

Ну тогда я не знаю, что такое точная верхняя грань. Всегда считал, что это наименьший элемент в множестве всех верхних границ. Существование её - это по сути аксиома непрерывности континуума при аксиоматическом подходе.