2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Краевая задача
Сообщение30.01.2009, 17:35 
Аватара пользователя
Помогите пожалуйста разобраться с задачей:

Доказать, что в случае \[
q\left( x \right) \leqslant 0
\] краевая задача
\[
y'' + q\left( x \right)y = 0,y\left( {x_1 } \right) = a,y\left( {x_2 } \right) = b
\]
при любых $a$, $b$ и \[
x_1  \ne x_2 
\] имеет единственное решение. Доказать, что это решение - монотонная функция, если $b=0$.

Хотелось бы услышать только наводки по решению.

Добавлено спустя 3 минуты 22 секунды:

Причем как доказать единственность решения я примерно знаю, напишу вечерком. А вот с монотонностью проблемы.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 18:30 
Единственность из теоремы Штурма о сравнении следует.

А монотонность, наверное, можно получить, проинтегрировав уравнение по x в пределах от $x_2$ до чего-нибудь.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 18:34 
Касательно монотонности: докажите, что в противном случае функция $y$ есть решение того же уравнения с однородными граничными условиями на некотором вложенном отрезке, затем воспользуйтесь единственностью решения.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 19:10 
Аватара пользователя
V.V.
Я думаю так. Допустим обратное, что \[
y_1 \left( x \right),y_2 \left( x \right)
\] - 2 различных решения, удовлетворяющие данным краевым условиям. Тогда \[
f\left( x \right) = y_1 \left( x \right) - y_2 \left( x \right)
\] тоже решение (не тривиальное), которое имеет 2 нуля - противоречие с теоремой Штурма, такое уравнение имеет не более одного нуля.

Над монотонностью пока подумаю...

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 19:26 
Полосин в сообщении #182550 писал(а):
что в противном случае функция есть решение того же уравнения с однородными граничными условиями на некотором вложенном отрезке

Не прокатит: в противном (ну очень противном монотонности) случае получаем краевую задачу с граничными условиями одинаковыми, но не однородными. А она вполне имеет решение, и нетривиальное.

Но вот что можно. Если монотонности нет, то на некотором подпромежутке имеем краевую задачу с воистину однородными условиями: на одном конце равна нулю сама функция, на другом -- её производная. И вот это-то задача уж точно имеет единственное решение, и, естественно, тривиальное.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 19:38 
Ewert, "очень противный" монотонности - в вашей терминологии - случай невозможен, поскольку противоречит оценке на производную, вытекающей из уравнения и условия на потенциал.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 19:39 
Аватара пользователя
ewert
Понятно, спасибо :)

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 19:40 
не знаю (не помню) оценок, но мой вариант -- всяко лучше

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 19:45 
Ewert, если не знаете или не помните, то не спешите писать "не прокатит". А доказать монотонность можно многими способами, задача детская.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group