Краевая задача

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста разобраться с задачей:

Доказать, что в случае

\[ q\left( x \right) \leqslant 0 \]

краевая задача

\[ y'' + q\left( x \right)y = 0,y\left( {x_1 } \right) = a,y\left( {x_2 } \right) = b \]

при любых $a$, $b$ и

\[ x_1 \ne x_2 \]

имеет единственное решение. Доказать, что это решение - монотонная функция, если $b=0$.

Хотелось бы услышать только наводки по решению.

Добавлено спустя 3 минуты 22 секунды:

Причем как доказать единственность решения я примерно знаю, напишу вечерком. А вот с монотонностью проблемы.

[V.V.]

Единственность из теоремы Штурма о сравнении следует.

А монотонность, наверное, можно получить, проинтегрировав уравнение по x в пределах от $x_2$ до чего-нибудь.

[Полосин]

Касательно монотонности: докажите, что в противном случае функция $y$ есть решение того же уравнения с однородными граничными условиями на некотором вложенном отрезке, затем воспользуйтесь единственностью решения.

[ShMaxG]

V.V.
Я думаю так. Допустим обратное, что

\[ y_1 \left( x \right),y_2 \left( x \right) \]

- 2 различных решения, удовлетворяющие данным краевым условиям. Тогда

\[ f\left( x \right) = y_1 \left( x \right) - y_2 \left( x \right) \]

тоже решение (не тривиальное), которое имеет 2 нуля - противоречие с теоремой Штурма, такое уравнение имеет не более одного нуля.

Над монотонностью пока подумаю...

[ewert]

Полосин в сообщении #182550 писал(а):

что в противном случае функция есть решение того же уравнения с однородными граничными условиями на некотором вложенном отрезке

Не прокатит: в противном (ну очень противном монотонности) случае получаем краевую задачу с граничными условиями одинаковыми, но не однородными. А она вполне имеет решение, и нетривиальное.

Но вот что можно. Если монотонности нет, то на некотором подпромежутке имеем краевую задачу с воистину однородными условиями: на одном конце равна нулю сама функция, на другом -- её производная. И вот это-то задача уж точно имеет единственное решение, и, естественно, тривиальное.

[Полосин]

Ewert, "очень противный" монотонности - в вашей терминологии - случай невозможен, поскольку противоречит оценке на производную, вытекающей из уравнения и условия на потенциал.

[ShMaxG]

ewert
Понятно, спасибо

[ewert]

не знаю (не помню) оценок, но мой вариант -- всяко лучше

[Полосин]

Ewert, если не знаете или не помните, то не спешите писать "не прокатит". А доказать монотонность можно многими способами, задача детская.