Задача на теорему Колмогорова об УЗБЧ

[lexus c.]

Помогите, пожалуйста, с этой задачей.
Предположим, что

\[ \left( {\xi _n } \right)_{n \geqslant 1} \]

последовательность одинаково распределённых с.в. с

\[ {\text{M}}\xi _n = a,{\text{D}}\xi _n = \sigma ^2 ,n = 1,2, \ldots . \]

Доказать, что последовательность с.в.

\[ \eta _1 ,\eta _2 , \ldots , \]

, где

\[ \eta _n = \frac{{\xi _1 + \ldots + \xi _n }} {{\xi _1^2 + \ldots + \xi _n^2 }}, \]

сходится с вероятностью 1, и найти предел.

Использовать здесь указано теорему Колмогорова об УЗБЧ.
Понятно, что, скорее всего, п.н.

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \eta _n = \frac{{a^2 }} {{a^2 + \sigma ^2 }} \]

, но доказать не получается.

[--mS--]

Домножить и поделить на $n$ числитель и знаменатель не пробовали?

[Хорхе]

--mS-- писал(а):

Домножить и поделить на $n$ числитель и знаменатель не пробовали?

А зачем еще домножать? Поделить достаточно.

[lexus c.]

Честно говоря, непонятно, что это даёт. Можно ещё подсказку?

[--mS--]

Как себя ведёт в условиях задачи

$$\dfrac{\xi_1+\ldots+\xi_n}{n}$$

при $n\to\infty$ в смысле сходимости с вероятностью 1?

2Хорхе: Ну да В общем, это и имелось в виду

[lexus c.]

--mS-- писал(а):

Как себя ведёт в условиях задачи

$$\dfrac{\xi_1+\ldots+\xi_n}{n}$$

при $n\to\infty$ в смысле сходимости с вероятностью 1?

2Хорхе: Ну да В общем, это и имелось в виду

Стремится к a
Непонятно, что делать к дробью

\[ \eta _n = \frac{{\xi _1 + \ldots + \xi _n }} {{\xi _1^2 + \ldots + \xi _n^2 }} \]

целиком

[Хорхе]

lexus c. писал(а):

Непонятно, что делать к дробью ...целиком

А мне непонятно, почему Вы не прочитали это:

Цитата:

поделить на $n$ числитель и знаменатель

А если прочитали -- тогда мне непонятно, что тут непонятного.

[lexus c.]

Хорхе писал(а):

lexus c. писал(а):

Непонятно, что делать к дробью ...целиком

А мне непонятно, почему Вы не прочитали это:

Цитата:

поделить на $n$ числитель и знаменатель

А если прочитали -- тогда мне непонятно, что тут непонятного.

Нет, очевидно, что числитель, делённый на

\[ n \]

, сходится к

\[ a \]

, а знаменатель, делённый на

\[ n \]

, к

\[ a^2 + \sigma ^2 \]

, но это если их отдельно рассматривать, а что делать с отношением - непонятно.

[--mS--]

А что же с отношением-то непонятно? Если $\phi_n \to a$, а $\psi_n\to b\neq 0$ с вероятностью 1, что можно сказать про поведение $\phi_n / \psi_n$?

[lexus c.]

--mS-- писал(а):

А что же с отношением-то непонятно? Если $\phi_n \to a$, а $\psi_n\to b\neq 0$ с вероятностью 1, что можно сказать про поведение $\phi_n / \psi_n$?

Но ведь $\phi_n$ и $\psi_n$ в данном случае, вообще говоря, зависимы.

[--mS--]

А какая сходимости с вероятностью 1 разница? Да и сходимости по вероятности тоже. Определение сходимости с вероятностью 1 знаете? Там речь идёт про поведение на одном элементарном исходе. А на одном элементарном исходе нет ни зависимости, ни независимости - всё сплошь числовые последовательности с известными Вам свойствами.

[lexus c.]

Спасибо большое, разобрался.

У меня появилась ещё одна задача, я напишу о ней здесь, чтобы новую тему не начинать.
Пусть

\[ \left( {\xi _n } \right)_{n \geqslant 1} \]

независимые с.в. Бернулли с

\[ {\text{P\{ }}\xi _n {\text{ = 1\} = P\{ }}\xi _n {\text{ = --1\} = }}\frac{1} {2} \]

. Доказать, что для любого

\[ \delta > 0 \]

почти наверно

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{S_n }} {{\sqrt n \left( {\log n} \right)^{\left( {1 + \delta } \right)/2} }} = 0 \]

.
В указании к задаче сказано, доказав с помощью интегрального признака сходимости Коши, что ряд

\[ \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1} {{b_n^2 }}} \]

, где

\[ b_n^2 = n\left( {\log n} \right)^{1 + \delta } \]

сходится, и воспользоваться теоремой Колмогорова и получить требумый результат.

Хотелось бы понять, как поможет это доказательство сходимости ряда, и как это использовать. Подскажите, пожалуйста.

[--mS--]

См. теорему 7 параграфа 4 главы 10 учебника А.А.Боровкова "ТВ" (нумерация по изданию 1986 г.).