Уравнения Гамильтона?

[timn]

Доброго времени суток!
Часто в учебной литературе при изложении классической механики можно встретить утверждения вроде "...ряд преимуществ (особенно при исследовании некоторых общих вопросов механики) дает Гамильтонова форма записи уравнений движения".

Что же это за преимущества такие?
Мне кажется немного иначе:
* для записи функции Гамильтона сначала необходимо составить функцию Лагранжа системы, а потом еще и сделать преобразование Лежандра,
* уравнения Гамильтона 1-го порядка; если задачу можно решить аналитически, мы все равно перейдем к уравнениям 2-го (как ур. Лагранжа). Зачем же огород городить?
* действие "наиболее естественно" выглядит будучи записанным как интеграл от функции Лагранжа (а не Гамильтона + еще одно слагаемое)

Так что же ногово приносят нам уравнения Гамильтона?

[VeiNo]

timn в сообщении #176321 писал(а):

мы все равно перейдем к уравнениям 2-го (как ур. Лагранжа)

Почему "все равно"? Совершенно необязательно избавляться от импульсов перед тем, как найдется решение. А система первого порядка проще как с теоретической точки зрения (и теория динамических систем выросла именно из изучения гамильтоновых систем) так и с прикладной точки зрения.

timn писал(а):

Так что же ногово приносят нам уравнения Гамильтона?

Они приносят такую замечательную структуру как фазовое пространство, заданные на нем функции и их скобки Пуассона. Вся эта конструкция естественным образом связывается с квантовой механикой: функции на фазовом пространстве переходят в операторы, а скобка Пуассона связывается с их коммутатором.

Добавлено спустя 5 минут 19 секунд:

Вообще, я бы советовал познакомится с такой воистину замечательной книжкой, как "Математические методы классической механики" Арнольда.

[Munin]

timn в сообщении #176321 писал(а):

* для записи функции Гамильтона сначала необходимо составить функцию Лагранжа системы, а потом еще и сделать преобразование Лежандра,

Часто как раз функцию Гамильтона можно записать сразу. Не забывайте, это просто энергия :-)

timn в сообщении #176321 писал(а):

* уравнения Гамильтона 1-го порядка; если задачу можно решить аналитически, мы все равно перейдем к уравнениям 2-го (как ур. Лагранжа). Зачем же огород городить?

Для уравнений 1-го порядка проще исследуются, например, вопросы существования и единственности решения. Кроме того, например, есть теорема о сохранении фазового объёма. Как вы её сформулируете на языке Лагранжа? Она очень важна в статфизике, термодинамике, теории хаоса.

timn в сообщении #176321 писал(а):

* действие "наиболее естественно" выглядит будучи записанным как интеграл от функции Лагранжа

Да, но действие - только один из нескольких эквивалентных способов описания механики. И фазовый портрет системы - не менее полноценный альтернативный способ, а часто и более информативен.

Арнольда я бы не рекомендовал, может быть, рано, а вот познакомиться с фазовыми портретами стоит. Собственно, фазовый портрет бывает у системы вообще немеханического происхождения, не записываемой через функцию Лагранжа. Даже бывает фазовое пространство нечётного числа измерений.

[timn]

Munin писал(а):

Часто как раз функцию Гамильтона можно записать сразу. Не забывайте, это просто энергия

Кстати, а разве всегда это просто энергия? (или только для независящего от времени явно понетциала/...)

[Munin]

Я боюсь, это может перестать быть энергией в диссипативных системах. Вот их я просто не знаю толком.

[Theoristos]

Плюс это энергия записанная как функция обобщенных координат и импульсов. Последние не всегда так просто записать с головы.

Но гамильтонов формализм зачастую удобнее лагранжева. Вопрос в облатси применения.

[peregoudov]

Гамильтонова точка зрения допускает более широкий класс преобразований (канонические преобразования), чем лагранжева (точечные преобразования), позволяет увидеть "скрытые симметрии" задачи. На гамильтоновой точке зрения основан наиболее мощный метод интегрирования уравнений движения (уравнение Гамильтона---Якоби).

[timn]

peregoudov писал(а):

На гамильтоновой точке зрения основан наиболее мощный метод интегрирования уравнений движения (уравнение Гамильтона---Якоби).

Вы напомнили мне еще об одном волнующем меня вопросе а именно:

Почему уравнение Гамильтона-Якоби иногда считается "вершиной" клас-меха?

(ну кроме того, что оно сложнее: является дифурой в частных производных -> должно быть сведено к характеристической системе обычных диф уравнений 1-го порядка, а для его записи нужно построить функцию Лагранжа, перейти к обобщенным импульсам и написать все ту же функцию Гамильтона) ?...

Theoristos писал(а):

Но гамильтонов формализм зачастую удобнее лагранжева. Вопрос в облатси применения.

Вы могли бы, пожалуйста, привести пример задачи, где гамильтонов формализм удобнее ?

[nestoklon]

timn в сообщении #180778 писал(а):

Вы могли бы, пожалуйста, привести пример задачи, где гамильтонов формализм удобнее ?

Квазиклассика.

[Theoristos]

timn в сообщении #180778 писал(а):

Вы могли бы, пожалуйста, привести пример задачи, где гамильтонов формализм удобнее ?

Гм, сразу на ум приходит статфизика, хотя это и не механика.

Определение общих особенностей фазового портрета нелинейной системы.

Часто удобнее получить решение или какие-то общие свойства, проявляющиеся при преобразовании переменных.

"И вообще, это просто красиво"

Вот уравнение Гамильтона-Якоби при всей заявляющейса полезности в деле нахождения инвариантов я не припомню чтоб использовал
Но может и есть методы и задачи где удобно именно оно.

[Munin]

timn в сообщении #180778 писал(а):

Почему уравнение Гамильтона-Якоби иногда считается "вершиной" клас-меха?

А кем считается? У меня две версии:
1. Наиболее очевидная - это его соответствие уравнению Шрёдингера.
2. Чтобы записать это уравнение, пришлось дальше всего отойти от "наивной" постановки задачи механики (одно дело решить дифур при начальных условиях, другое - исследовать поле интегральных кривых).

[pppppppo_98]

timn писал(а):

peregoudov писал(а):

На гамильтоновой точке зрения основан наиболее мощный метод интегрирования уравнений движения (уравнение Гамильтона---Якоби).

Вы напомнили мне еще об одном волнующем меня вопросе а именно:

Почему уравнение Гамильтона-Якоби иногда считается "вершиной" клас-меха?

(ну кроме того, что оно сложнее: является дифурой в частных производных -> должно быть сведено к характеристической системе обычных диф уравнений 1-го порядка, а для его записи нужно построить функцию Лагранжа, перейти к обобщенным импульсам и написать все ту же функцию Гамильтона) ?...

Theoristos писал(а):

Но гамильтонов формализм зачастую удобнее лагранжева. Вопрос в облатси применения.

Вы могли бы, пожалуйста, привести пример задачи, где гамильтонов формализм удобнее ?

Да таже кеплерова задача.