2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Система нелинейных дифференциальных уравнений
Сообщение23.01.2009, 10:46 
Имеется система дифференциальных уравнений такого вида:

$\dot x=f(x,t)+u(t)$

В матричном виде эти уравнения записаны так:

$$\begin{bmatrix}
\dot x\\
\dot y\\
\dot z\\
\dot \phi\\
\dot \theta\\
\dot \psi\\
\dot V\\
\dot b\\
\dot d\\ 
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
V \cos \theta \cos \psi\\
V \cos \theta \sin \psi\\
-V \sin \psi\\
0\\
0\\
0\\
0\\
d\\
0\\
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5\\u_6\\u_7\\u_8\\u_9\\\end{bmatrix}$$

Нужно представить эти уравнения в дискретной во времени форме:

$x_{k+1}=f_k(x_k)+u_k$

Как в этом случае будет выглядеть система уравнений?

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 11:29 
запишите уравнение через дифференциалы, а затем замените их конечным приращениями. Например:
$$
\dot{x} = f(x,t)+u(t)
$$
Здесь одномерные случай. Меняем $\dot{x}=\frac{dx}{dt}$. Умножим все на $dt$. Получим:
$$
dx=f(x,t)dt+u(t)dt
$$
Теперь воспользуемся тем, что $x_{k+1}\approx x_k+dx_k+...$
Откуда:
$$
dx_k=f(x_k,t_k)dt_k+u(t_k)dt_k
$$

У меня есть подозрение, что эту формулу можно применить и в многомерном случае без изменения. Но проверьте.

P.s. респект 2 PAV

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 11:34 
Аватара пользователя
Gortaur в сообщении #180426 писал(а):
я запамятовал, как пишется приблизительно равно


Код:
$\approx$


$\approx$

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 11:50 
кстати, откуда такая почти красивая, но громоздкая система?

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 12:36 
Gortaur писал(а):
$$
dx_k=f(x_k,t_k)dt_k+u(t_k)dt_k
$$

У меня есть подозрение, что эту формулу можно применить и в многомерном случае без изменения.

Это называется методом Эйлера (методом ломаных). И ему действительно без разницы, какая там размерность.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 12:53 
Скорее всего. Но у меня был такой препод по ОДУ, что слова "ломаные Эйлера" и "задача Коши" ничего хорошего у меня не вызывают.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 14:31 
Значит, если, например, взять приращение по времени dt=1 (сек), то приращения соответствующих функций будут равны:

$dx_k=V_k\cos \theta_k\cos \psi_k$;
$dy_k=V_k\cos \theta_k\sin \psi_k$;
$dz_k=-V_k\sin \theta_k$;
$db_k=d_k$
$d\Phi_k=d\theta_k=d\psi_k=dV_k=dd_k=0$;

Тогда система уравнений в дискретном виде будет такой?

$$\begin{bmatrix}
x\\y\\z\\\phi\\\theta\\\psi\\V\\b\\d\\ 
\end{bmatrix}_{k+1}=\begin{bmatrix}
x\\y\\z\\\phi\\\theta\\\psi\\V\\b\\d\\ 
\end{bmatrix}_k+
\begin{bmatrix}
V_k \cos \theta_k \cos \psi_k\\
V_k \cos \theta_k \sin \psi_k\\
-V_k \sin \psi_k\\
0\\
0\\
0\\
0\\
d_k\\
0\\
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5\\u_6\\u_7\\u_8\\u_9\\\end{bmatrix}_k$$

Или я что-то неправильно понимаю?...

P.S. Система взята из статьи, в которой описывается нелинейная динамическая модель движения летательного аппарата.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 14:56 
Всё правильно. А при произвольном шаге на него умножаются два последних слагаемых.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 15:02 
Спасибо за ответы. Вы меня сдвинули с мертвой точки :)

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group