Система нелинейных дифференциальных уравнений

[ShTat]

Имеется система дифференциальных уравнений такого вида:

$\dot x=f(x,t)+u(t)$

В матричном виде эти уравнения записаны так:

$$\begin{bmatrix} \dot x\\ \dot y\\ \dot z\\ \dot \phi\\ \dot \theta\\ \dot \psi\\ \dot V\\ \dot b\\ \dot d\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} V \cos \theta \cos \psi\\ V \cos \theta \sin \psi\\ -V \sin \psi\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ d\\ 0\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5\\u_6\\u_7\\u_8\\u_9\\\end{bmatrix}$$

Нужно представить эти уравнения в дискретной во времени форме:

$x_{k+1}=f_k(x_k)+u_k$

Как в этом случае будет выглядеть система уравнений?

[Gortaur]

запишите уравнение через дифференциалы, а затем замените их конечным приращениями. Например:

$$ \dot{x} = f(x,t)+u(t) $$

Здесь одномерные случай. Меняем $\dot{x}=\frac{dx}{dt}$. Умножим все на $dt$. Получим:

$$ dx=f(x,t)dt+u(t)dt $$

Теперь воспользуемся тем, что $x_{k+1}\approx x_k+dx_k+...$
Откуда:

$$ dx_k=f(x_k,t_k)dt_k+u(t_k)dt_k $$

У меня есть подозрение, что эту формулу можно применить и в многомерном случае без изменения. Но проверьте.

P.s. респект 2 PAV

[PAV]

Gortaur в сообщении #180426 писал(а):

я запамятовал, как пишется приблизительно равно

$\approx$

$\approx$

[Gortaur]

кстати, откуда такая почти красивая, но громоздкая система?

[ewert]

Gortaur писал(а):

$$ dx_k=f(x_k,t_k)dt_k+u(t_k)dt_k $$

У меня есть подозрение, что эту формулу можно применить и в многомерном случае без изменения.

Это называется методом Эйлера (методом ломаных). И ему действительно без разницы, какая там размерность.

[Gortaur]

Скорее всего. Но у меня был такой препод по ОДУ, что слова "ломаные Эйлера" и "задача Коши" ничего хорошего у меня не вызывают.

[ShTat]

Значит, если, например, взять приращение по времени dt=1 (сек), то приращения соответствующих функций будут равны:

$dx_k=V_k\cos \theta_k\cos \psi_k$;
$dy_k=V_k\cos \theta_k\sin \psi_k$;
$dz_k=-V_k\sin \theta_k$;
$db_k=d_k$
$d\Phi_k=d\theta_k=d\psi_k=dV_k=dd_k=0$;

Тогда система уравнений в дискретном виде будет такой?

$$\begin{bmatrix} x\\y\\z\\\phi\\\theta\\\psi\\V\\b\\d\\ \end{bmatrix}_{k+1}=\begin{bmatrix} x\\y\\z\\\phi\\\theta\\\psi\\V\\b\\d\\ \end{bmatrix}_k+ \begin{bmatrix} V_k \cos \theta_k \cos \psi_k\\ V_k \cos \theta_k \sin \psi_k\\ -V_k \sin \psi_k\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ d_k\\ 0\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5\\u_6\\u_7\\u_8\\u_9\\\end{bmatrix}_k$$

Или я что-то неправильно понимаю?...

P.S. Система взята из статьи, в которой описывается нелинейная динамическая модель движения летательного аппарата.

[ewert]

Всё правильно. А при произвольном шаге на него умножаются два последних слагаемых.

[ShTat]

Спасибо за ответы. Вы меня сдвинули с мертвой точки