линейная алгебра

[T-Mac]

дана матрица A, известно, что ее ранг равен r, доказать, что существует ровно
r матриц , таких что сумма их равна матрице A, а ранг каждой из них равен еденице
даже не знаю с чего начать...
помогите доказать!

[ewert]

Начните с того, что исправьте формулировку -- в буквальном смысле это утверждение неверно.

А по существу -- выберите произвольный базис в линейной оболочке строк (или столбцов, не важно). В нём будет ровно $r$ элементов. И разложите каждую строку матрицы по этому базису. И т.д.

[gris]

Думал-думал почему в буквальном смысле неверно?
Сумма из одного слагаемого бывает. Сумма матриц одинакового размера всегда существует.
Ранг ненулевой должен быть? То есть матрица ненулевая?

[ewert]

так, просто придирка. Вообще-то таких одноранговых матриц сколько угодно, да и в сумме может участвовать сколь угодно много слагаемых.

Формулировка должна была звучать примерно так:

"любую такую матрицу можно представить в виде суммы $r$ одноранговых, но нельзя представить в виде суммы меньшего количества одноранговых".

[gris]

Ранг суммы вроде бы не больше суммы рангов слагаемых.

Спасибо, теперь понятно. Надо пригласить г. Архипова и попросить протрактовать фразу "существует ровно". А сумма нуля матриц значит будет просто равна нулевой матрице.

Итак, " Любая матрица ранга $r>1$ представима в виде суммы $r$ одноранговых матриц."

[ewert]

gris в сообщении #180051 писал(а):

Ранг суммы вроде бы не больше суммы рангов слагаемых.

Формально да, и даже в некотором смысле точно, но для типичных приложений выглядит как-то грубовато.

[T-Mac]

ewert писал(а):

Начните с того, что исправьте формулировку -- в буквальном смысле это утверждение неверно.

А по существу -- выберите произвольный базис в линейной оболочке строк (или столбцов, не важно). В нём будет ровно $r$ элементов. И разложите каждую строку матрицы по этому базису. И т.д.

ewert можно по-подробнее, я не оч понял как выбрать базис и как потом разложить строки матрицы?!

[ewert]

T-Mac в сообщении #180060 писал(а):

не оч понял как выбрать базис

А конкретно никак. Вы ж не задачу решаете, а теорему доказываете. Вот гарантировано существование некоего базиса -- так и берите этот абстрактный базис.

T-Mac в сообщении #180060 писал(а):

и как потом разложить строки матрицы

И снова -- сугубо абстрактно. Базис -- это по определению то, по чему можно разложить всё остальное.

-----------------------------------------------------------------
Впрочем, я начинаю смутно догадываться, из-за чего проблемы. Что, с Вашей точки зрения, есть ранг матрицы?