УРвЧП гиперболического типа

[Spook]

Есть такое уравнение $u_{xx}-\frac{1}{c^2}u_{tt}=-e^{-iwt}\delta(x-x_0)$
Уравнения подобного рода я обычно решал так: представлял правую часть в виде суммы двух функций, одну из них искал так, чтобы уравнение относительно другой было однородным и с однородными граничными условиями.
Проблема здесь в том, что здесь нет вообще никаких условий: ни начальных, ни граничных. Видимо, начальные условия нулевые, а струна неограничена.
Как обычно решаются такие задачи и с чего начать?

[ewert]

Наверное, предполагалась подстановка $u(x,t)=e^{-i\omega t}v(x).$

Такого рода задачки возникают обычно не с потолка, а как технический элемент решения какой-то другой задачи; она же диктует и дополнительные условия.

Например, не исключено, что предполагалось что-то вроде условий излучения Зоммерфельда -- по каждую сторону от источника решение должно включать только волновую составляющую, убегающую на соответствующую бесконечность. Тогда решение определяется однозначно:

$$v(x)=-{c\over2i\omega}\,e^{i{\omega\over c}|x-x_0|}.$$

(прошу прощения, $x_0$ я поначалу зачем-то зевнул)
(и ещё $i$ внизу)

[Spook]

Получается, что от $x_0$ ответ не зависит? $v(x)$ я пока не нашел, никак не справлюсь с интегралом такого вида
$\int\limits_{0}^{t}\delta(x-a)\sin{b(x-t)}dx$. Он не равен $\sin{b(a-t)}$?

Добавлено спустя 8 минут 35 секунд:

ewert писал(а):

Тогда решение определяется однозначно:

$$v(x)=-{c\over2\omega}\,e^{i{\omega\over c}|x-x_0|}.$$

Любопытно, как его получить, потому что мое решение привело к интегралу с обобщенной функцией.

[MaximKat]

Spook
Если $a\in[0;t]$, то равен, иначе 0

[Spook]

Ну $a$ в интеграле - это $x_0$, $t$ - это $x$. Тогда ответ ewert у меня не получается.

[ewert]

да равен-то он, конечно, равен. Только, во-первых, должно быть $a\in(0;t),$ а во-вторых, у Вас там с аргументом синуса бардак (размерности не выровнены).

Свою ошибку в показателе я исправил. Правда, обнаружил ещё одну -- была потеряна мнимая единичка в знаменателе.

Ну а получается оно просто. При $x\neq x_0$ решение и слева, и справа представляет собой некую комбинацию комплексных экспонент -- всего имеем четыре произвольных постоянных. Две из них выбиваются исловиями излучения -- должно быть $C_{{}_+}e^{-i\omega(t-{x-x_0\over c})}$ при $x>x_0$ и $C_{{}_-}e^{-i\omega(t+{x-x_0\over c})}$ при $x<x_0.$ В точке $x_0$ решение должно быть непрерывным, поэтому $C_{{}_-}=C_{{}_+}.$ Ну и окончательно константа определяется тем, что $(|x|)''=2\,\delta(x).$

[Spook]

ewert писал(а):

да равен-то он, конечно, равен. Только, во-первых, должно быть $a\in(0;t),$ а во-вторых, у Вас там с аргументом синуса бардак (размерности не выровнены).

Свою ошибку в показателе я исправил.

Spook писал(а):

Ну $a$ в интеграле - это $x_0$, $t$ - это $x$. Тогда ответ ewert у меня не получается.

ewert я просто долго печатал сообщение - сразу не заметил. Это у Вас табличное решение для этого уравнения? Хотелось бы его все-таки вывести. Я-то воспользовался общей формулой для такого уравнения, которая есть в Эльсгольц "Дифференциальные уравнения". Не знаю, правда, рассчитана ли там правая часть на обобщенные функции или нет. По идее, должно быть верно и для них.

[ewert]

Spook в сообщении #179958 писал(а):

Это у Вас табличное решение для этого уравнения? Хотелось бы его все-таки вывести.

См. добавление в предыдущем посте.

[Spook]

Пробую разобраться. А разве не надо взять от полученной функции вещественную часть?

[ewert]

Говоря формально -- нельзя: исходное уравнение не вещественно.

Ну а если потом для каких-то целей понадобится -- кто ж может запретить.

[Spook]

ewert писал(а):

$$v(x)=-{c\over2i\omega}\,e^{i{\omega\over c}|x-x_0|}.$$

У меня получилось без минуса в начале правой части, зато он есть в показателе степени.

[ewert]

Ну, если убрать оба минуса в правой части Вашего исходного волнового уравнения, то да.

[Spook]

Странно. Вы когда обнуляли две константы, то это делалось, как я понял, из соображений ограниченности функции? Тогда должны были обнуляться константы перед $e^{i\frac{w}{c}|x-x_0|}$, разве нет?

[ewert]

Spook в сообщении #180014 писал(а):

Странно. Вы когда обнуляли две константы, то это делалось, как я понял, из соображений ограниченности функции?

Нет, не из ограниченности.

Попробую то же самое, но чуть другими словами. Имеем уравнение:

$v''+{\omega^2\over c^2}v=-\delta(x-x_0).$

Решение в любом случае будет выглядеть так:

$v(x)=C_1^{{}^-}e^{i\omega{x-x_0\over c}}+C_2^{{}^-}e^{-i\omega{x-x_0\over c}}$ при $x<x_0,$
$v(x)=C_1^{{}^+}e^{i\omega{x-x_0\over c}}+C_2^{{}^+}e^{-i\omega{x-x_0\over c}}$ при $x>x_0$

Слагаемое $x_0$ добавлено исключительно для дальнейшего удобства -- оно ничего не меняет в том смысле, что поглощается произвольностью (пока) констант. После возвращения временнОй экспоненты имеем:

$u(x,t)=C_1^{{}^-}e^{i\omega({x-x_0\over c}-t)}+C_2^{{}^-}e^{-i\omega({x-x_0\over c}+t)}$ при $x<x_0,$
$u(x,t)=C_1^{{}^+}e^{i\omega({x-x_0\over c}-t)}+C_2^{{}^+}e^{-i\omega({x-x_0\over c}+t)}$ при $x>x_0.$

Под "условием излучения" понималось, что правее точки $x_0$ должна присутствовать лишь волна, бегущая вправо со скоростью $(+c)$. Т.е. во второй строчке разрешается присутствовать только первому слагаемому, но не второму. Соответственно, в первой строчке -- наоборот.

Ну теперь экспоненту по времени мы со спокойной душой можем снова откинуть:

$v(x)=C^{{}^-}e^{-i\omega{x-x_0\over c}}$ при $x<x_0,$
$v(x)=C^{{}^+}e^{i\omega{x-x_0\over c}}$ при $x>x_0.$

Теперь условие непрорывности $v(x_0-0)=v(x_0+0)$ даёт $C^{{}^-}=C^{{}^+},$ т.е.

$v(x)=C\,e^{i\omega{|x-x_0|\over c}}.$

[Spook]

Спасибо, теперь понятно. Вот уж не думал, что физическая аналогия позволяет так успешно выбирать нужные семейства решений. А с ограниченностью я что-то поспешил, т.к. $|e^{i\phi}|=1$.