Прямолинейные образующие гиперболойда

[Nimza]

Подскажите, как можно доказать, что классы прямолинейных образующих однополостного гиперболойда не пересекаются?

Гиперболойд

\[ \frac{{x^2 }} {{a^2 }} + \frac{{y^2 }} {{b^2 }} - \frac{{z^2 }} {{c^2 }} = 1\begin{array}{*{20}c} , & {a,b,c > 0} \\ \end{array} \]

То есть что для любых значений

\[ \alpha ,\beta :\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| > 0 \]

в системе

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\alpha \left( {\frac{x} {a} - \frac{z} {c}} \right) = \beta \left( {1 - \frac{y} {b}} \right)} \\ {\beta \left( {\frac{x} {a} + \frac{z} {c}} \right) = \alpha \left( {1 + \frac{y} {b}} \right)} \\ \end{array} } \right. \]

не найдётся таких значений

\[ \gamma ,\delta :\left| \gamma \right| + \left| \delta \right| > 0 \]

, при которых система

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\gamma \left( {\frac{x} {a} - \frac{z} {c}} \right) = \delta \left( {1 + \frac{y} {b}} \right)} \\ {\delta \left( {\frac{x} {a} + \frac{z} {c}} \right) = \gamma \left( {1 - \frac{y} {b}} \right)} \\ \end{array} } \right. \]

определяет ту же прямую.

[Йа Гринько]

Обычно единственность доказывают от противного. То есть:
пусть есть такие

$$ \gamma ,\delta :\left| \gamma \right| + \left| \delta \right| > 0 $$

, при которых...

и в итоге должны придти к противоречию с условием (каким либо), или показать, что \gamma ,\delta это теже самые \alpha, \beta.

[Nimza]

Если идти таким путём, то вроде придётся доказать, что ранг системы из всех четырёх уравнений равен двум (чтобы их решение было прямой). Но это сделать не удаётся (противоречия в коэффициентах найти не получается)

[Йа Гринько]

Nimza в сообщении #179694 писал(а):

Если идти таким путём, то вроде придётся доказать, что ранг системы из всех четырёх уравнений равен двум (чтобы их решение было прямой). Но это сделать не удаётся (противоречия в коэффициентах найти не получается)

Ну если подумать, то у вас система из 4-х уравнений с тремя неизвестными... это уже дает какие-то условия на коэффициенты

[Nimza]

Спасибо за помощь! Задача решена =)