Найти оптимальную оценку в семействе биномиальных распр.

[Виктория123]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста разобраться с задачей:

В семействе биномиальных распределений

$$Bi(1;\theta)$$

найти оптимальную(с равномерно минимальной дисперсией) оценку для параметрической функции

$$\tau(\theta)={\theta}^2$$

Я, записав функцию правдоподобия ,по критерию факторизации ,нашла ,что

$$T(X)=\sum {X_i}$$

является достаточной статистикой.

А как дальше?
Нужно ведь доказать что она полная?И как это сделать?(((

Добавлено спустя 2 часа 32 минуты 59 секунд:

Как я понимаю чтобы доказать полноту ,надо поссчитать мат.ожидание от какой то функции

$$\phi(T)$$

? И показать что оно равно $0$ только в случае равенства нулю этой функции $\phi$ ?

[GAA]

Виктория123 писал(а):

... чтобы доказать полноту, надо поссчитать мат.ожидание от какой то функции

$$\phi(T)$$

? И показать что оно равно $0$ только в случае равенства нулю этой функции $\phi$ ?

Да.

Пусть оптимальной оценкой называется несмещенная оценка с равномерно минимальной дисперсией. В зависимости от программы, возможно несколько способов построения оптимальной оценки $\theta^2$:
0. Угадать и проверить по определению.
1. Воспользоваться теоремой о том, что функция от полной достаточной статистики является оптимальной оценкой своего ожидания.
2. Воспользоваться критерием Бхаттачария.

Идя первым путем, Вы доказали достаточность. Для доказательства полноты, попробуйте воспользоваться его определением (приведите свое определение; используемое мною может отличаться от принятого у Вас в курсе). После этого, попробуйте подобрать функцию этой статистики, математическое ожидание которой равно, возможно с точностью до постоянного коэффициента, $\theta^2$.

Добавлено

Виктория123 писал(а):

В семействе биномиальных распределений

$$Bi(1;\theta)$$

найти оптимальную(с равномерно минимальной дисперсией) оценку для параметрической функции

$$\tau(\theta)={\theta}^2$$

[Выделение цветом - GAA]

Иногда, оптимальной (в [1], и ряде других книг, принят термин эффективная) называют несмещенную оценку с равномерно минимальной дисперсией. Именно о построении такой оценки я писал выше.

[1] Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров, проверка гипотез. — М.: Наука, 1984.

[Виктория123]

Спасибо за указания,воспользуюсь пунктом 1)

[ewert]

а кстати, просвятите дилетанта. Что такое полнота?

Про несмещённость точечных оценок -- слыхал, про состоятельность -- тож, и даже про эффективность. Но полнота?

[Виктория123]

ewert писал(а):

а кстати, просвятите дилетанта. Что такое полнота?

Про несмещённость точечных оценок -- слыхал, про состоятельность -- тож, и даже про эффективность. Но полнота?

Не оценка полная,а достаточная статистика.

[--mS--]

ewert писал(а):

а кстати, просвятите дилетанта. Что такое полнота?

Про несмещённость точечных оценок -- слыхал, про состоятельность -- тож, и даже про эффективность. Но полнота?

Семейство распределений $\mathcal F=\{F_\theta,\, \theta\in\Theta\}$ называется полным, если равенство $\int_{\mathbb R}g(x)\,dF_\theta(x)=0$ при любом $\theta\in\Theta$ (где $g$ - измеримая функция) влечёт $g(x)=0$ п.в. относительно $\mathcal F$ (т.е. всюду кроме, возможно, множества $A$ такого, что $F_\theta(A)=0$ при всех $\theta$).

Полнотой оценки (статистики) называют полноту семейства её распределений (семейства - при разных значениях оцениваемого параметра).

Ну и как бы эффективность сильно связана с полнотой Если оценка является достаточной и полной статистикой, то она эффективна (обладает наименьшей дисперсией) в классе оценок с тем же смещением.