Помогите вычислить пределы функций

[Kakadu]

Помогите вычислить пределы:

$$\lim\limits_ {x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{{\sqrt[4]{x+9}}-2}$$

$$\lim\limits_ {x\to0}\frac{\ln\((1+xe^x)}{\ln(x+\sqrt{1+x^2)}}$$

[antbez]

2. Возьмите вместо логарифмов первый член их разложнеия в ряд Маклорена. В нижнем логарифме разложите предварительно корень по биному.

Добавлено спустя 2 минуты 22 секунды:

В первом примере, чтобы не мучиться, введите новую переменную $\alpha= x-7$ и затем смело используйте биномиальное разложение!

[gris]

Просто чисто для прикола: в первом примере можно ещё домножить числитель и знаменатель на дополнение числителя до разности шестых степеней, а знаменатель до разности четвёртых степеней. (если эбм еще не проходили)

[antbez]

Можно! Если больше нечем заняться...

[Kakadu]

Есть ли способ вычислить данные пределы без ряда Маклорена и разложения биномиального разложения, мои возможности в вычислении пределов минимальны (замечательные пределы, умножение на сопряженное, эквивалентности), эти примеры требуют большего знания теории?

[gris]

Вот и домножьте в первом как я говорил выше. А во втором объедините логарифмы и в подлогарифмическом выражении воспользуйтесь вторым замечательным пределом

[ewert]

В первом случае без Маклоренов и прочих Лопиталей -- никак. Ну разве что по совету gris. Но если Ваши начальники требуют от Вас именно такого подхода -- то они откровенно просто издеваются.

Во втором ситуация помягче. Второй замечательный предел (в логарифменном варианте) сразу сводит задачу к нахождению предела от ${xe^x\over x+\sqrt{1+x^2}-1}$. Ну а тут уже вполне можно покрутиться.

(Вообще-то в первом тоже можно облегчить себе жизнь, прибавив и числителю и вычтя тройку, а потом разбив на две дроби. Тогда можно будет обойтись без шестых степеней. Но всё равно это -- издевательство.)

[gris]

Вот так даже можно, чтобы с корнями не мучится.

$\lim \frac {a-b} {c-2} = \lim \frac {(a-b)\cdot (a^5+a^4 b+a^3 b^2 + a^2 b +a^5) \cdot (c^3+2c^2+4c+8)} {(c-2) \cdot (c^3+2c^2+4c+8) \cdot (a^5+a^4 b+a^3 b^2 + a^2 b +a^5)}=\lim \frac {(a^6-b^6) \cdot (c^3+2c^2+4c+8)} {(c^4-16) \cdot (a^5+a^4 b+a^3 b^2 + a^2 b +a^5)}$
Потом сократить многочлен в числителе на $(x-7)$, потом вместо a,b,c подставить их предельные значения 3, 3 и 2.
Тоска.... Многочлен в столбик делить... Но не так уж сложно.
Во втором пределе тоже домножать придётся!

[daogiauvang]

Kakadu писал(а):

Помогите вычислить пределы:

$$\lim\limits_ {x\to0}\frac{ln\((1+xe^x)}{ln(x+\sqrt{1+x^2)}}$$

$\ln(1+xe^x)= \ln(x(1+x+x^2/2+x^3/6+ R_n(x)))=x+\frac{x^2}{2}+...$
а $ \ln (x +\sqrt{1+x^2})=\ln (x+ 1+\x^2/2)=x +x^2/2$
cледует, $L= 1$

[Kakadu]

Большое спасибо!

[ewert]

gris в сообщении #179146 писал(а):

Во втором пределе тоже домножать придётся!

Но только до разности квадратов (и только знаменатель), а это уже приемлемо.