Полярное разложение

[berant]

Существует ли алгоритм полярного разложения вырожденной матрицы?

Для данной вещественной матрицы $A$ найдите какое-нибудь полярное разложение $A = U*S$, где $U$ - ортогональная, $S$ - неотрицательная симметричная матрица.

$$ {A} = \left( \begin{array}{cccсс} 0 & 0 & 0 & 0 & a\\ 0 & 0 & 0 & a & 0 \\ -b & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & -b & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right) $$

Ответ, конечно, виден почти сразу, а вот как к нему прийти в результате каких-то обоснованных действий, я не знаю. Да и если матрица будет другая, ответ может быть совсем не очевидным.

[ewert]

Формальный ответ: для получения полярного разложения следует диагонализовать матрицу $A^*A$ (ну или наоборот -- лень вспоминать, с какой стороны какой сомножитель должен стоять).

[berant]

Дело в том, что в данном случае $B^2 = AA^*$ диагональна (в общем случае неотрицательная симметричная), из нее извлекаем квадратный корень (все как полагается), но для нахождения ортогональной матрицы $U = A*B^{-1}$ матрицу $B$ нужно обращать, а она вырождена...

[ewert]

да нет, не нужно обращать. Просто есть сингулярные ортонормированные базисы на входе и выходе. Для элементов базисов, отвечающих ненулевым числам, соответствие более-менее однозначно (ну с точностью до возможной вырожденности тех сингулярных чисел). А на ядре соответствие можно установить попросту произвольным.

[berant]

ewert, извините, но я не совсем понял про базисы на входе и выходе... Напишите, пожалуйста, поподробнее.

[ewert]

ага, если б я помнил в точности всю эту теорию. Ну попытаюсь отчасти восстановить. По Воеводину и Кузнецову:

Цитата:

11.31. Каково бы ни было полярное разложение $A=UH$ матрицы $A$, унитарная матрица $U$ переводит ортонормированный базис из собственных векторов матрицы $A^*A$ в ортонормированный базис из собственных векторов матрицы $A\,A^*$.

Т.е. Вы должны найти два этих ортонормированных базиса и тупо установить биекцию между их элементами. Позаботившись, разумеется, о согласованности с сингулярными числами. И учтя, конечно, что сомножители по сравнению с Вашей задачей тут переставлены.

[berant]

ewert, большое спасибо, вроде понял)) попробую...

[berant]

ewert, еще раз спасибо. Все-таки получилось.

[Евгений Машеров]

Хватит и псевдообращения, а оно, с учётом диагональности, сводится к обращению ненулевых элементов и оставлению нулевых нулями...

[ewert]

Хм, дескать псевдообратная. Поди истчо её найди.

Ладно, на всякий случай (вдруг кому любопытно) восполняю хоть как-то пробелы в моём легкомысленно-предыдущем изложении.

Биекцию надо восстановлять -- безусловно. Другой вопрос, как, ежели сингулярныя числа кратныя.

Так вот. Ежели то кратное число -- нулевое, то и нет вопросов. Как хотим, так и установляем. Образ-то всё равно нулевой.

Ну а ежели ненулевое, то тут аккуратнее. Тут есть стандартное правило, сопоставляющее входному вектору соответствующий ему выходной.

А надобно ли это в конкретной задаче -- зависит от задачи.