Матричное уравнение

[AlexNew]

$A = B^{-1} A B$
Нужно найти все возможные $A$ для данной $B$.
Имеет ли этот вопрос отношение к собственным значениям $A, B$ ?

Помогите пожалуйсто разобраться.

[maxal]

Это переписывается в виде $BA=AB$, то есть вам нужно найти матрицы коммутирующие с данной.

См. раздел "7.1.1. Матрицы, перестановочные с данной" в книге
В.В.Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры

[Draeden]

Или такой вариант: используя векторизацию и произведение Кронекера можно это уравнение свести к линейному.

[ewert]

А ещё лучше бы знать конкретный вид матрицы, т.к. общая теория -- в любом случае некоторая морока.

AlexNew в сообщении #178638 писал(а):

Имеет ли этот вопрос отношение к собственным значениям

Имеет, но скорее к собственным векторам. Диагонализуйте матрицу некоторым преобразованием подобия: $B=V\,J\,V^{-1},$ где матрица $J$ диагональна или, в крайнем случае, жорданова.

[AlexNew]

предположим мы разложили нашу данную матрицу $B$:
B = V J V^{-1}
Нашли J, V
тогда
V A' V^{-1} V J V^{-1} = V A' V^{-1} V J V^{-1}
A' J = J A'

для каждой i-ой клетки

$$ A' (\lambda_i I +N) = (\lambda_i I +N) A' $$

А'N = NА'
где N - нильпотельная матрица.
как теперь найти А' от сюда не совсем понятно?

верно ли что А = a_1 I + a_2 B + ...+ a_{n-1} B^{n-1}
где а_i - любые числа.
?

[ewert]

Последний факт верен, если матрица $B$ диагонализуема и все её собственные числа различны.

А в общей ситуации -- эта сумма с самой $B$, конечно, коммутирует, но вовсе не обязательно только она. Поскольку размерность подпространства коммутирующих матриц может оказаться и больше, чем $n$.

Да, а под нильпотентной понимается, наверное, полученная из единичной сдвигом главной диагонали на одну позицию?

Ну так она коммутирует только со своими степенями (и их комбинациями, конечно).

[AlexNew]

ewert писал(а):

Да, а под нильпотентной понимается, наверное, полученная из единичной сдвигом главной диагонали на одну позицию?

Да, чтобы получилась жарданова матрица. Тогда для каждой клетки есть диагональная матрица (с собственным значением на диагонали + нильпотельная)

Добавлено спустя 6 минут 31 секунду:

ewert писал(а):

А в общей ситуации -- эта сумма с самой $B$, конечно, коммутирует, но вовсе не обязательно только она. Поскольку размерность подпространства коммутирующих матриц может оказаться и больше, чем $n$

Это не понятно.

А есть ли другие матрицы $A$ которые строятся не из степеней $B$?

Если A строить из B, означает ли это что собственные значения будут совпадать?

[ewert]

Собственные числа -- не будут, конечно (вообще говоря). Собственные векторы -- будут (но могут и добавиться дополнительно).

Насчёт "других матриц" -- да запросто. Допустим, $B$ -- единичная матрица (или хотя бы кратная единичной). С какими матрицами она коммутирует?

[AlexNew]

да, понятно...

Цитата:

Допустим, -- единичная матрица (или хотя бы кратная единичной)

это частный случай, когда все a_i = 0 кроме i=1.

Но все же, как узнать все возможные матрицы, которые будут коммутировать с данной?

Добавлено спустя 16 минут 32 секунды:

немного следует упростить задачу

$ \Lambda A = A \Lambda $
где $ \Lambda $ - известная диагональная
матрица, требуется найти все возможные $ A $

[Draeden]

Векторизовав обе части равенства получится такое уравнение:

$BA-AB=0$
$\left( E \times B - B^T \times E \right) \cdot vec(A)=0 $

Это линейное уравнение.

[AlexNew]

Draeden писал(а):

Векторизовав обе части равенства

что это значит? 10 минут смотрю на ваше уравнение и не могу понять.

[ewert]

AlexNew писал(а):

немного следует упростить задачу

$ \Lambda A = A \Lambda $
где $ \Lambda $ - известная диагональная
матрица, требуется найти все возможные $ A $

Это -- действительно просто.

Один предельный случай -- когда все диагональные элементы одинаковы. Для него ответ Вам известен (хотя я и не понял, что Вы там сочинили насчёт $a_i$).

Другой -- когда, наоборот, все диагональные элементы разные. Тогда коммутировать будут все диагональные матрицы, и только они.

А теперь скомбинируйте обе идеи (выбрав для удобства диагональную матрицу так, чтобы все одинаковые элементы оказались сгруппированными).

[AlexNew]

ewert писал(а):

Это -- действительно просто.

простейший трюк
$AB = BA$
$V^{-1}AVV^{-1}BV = V^-1BVV^{-1}AV$
$\Lambda = V^{-1}BV$
$A' = V^{-1}AV$

ewert писал(а):

Другой -- когда, наоборот, все диагональные элементы разные. Тогда коммутировать будут все диагональные матрицы, и только они.

смущает то что по книжке получается что искомые элементы должны быть полиномами от элементов данной диагональной матрицы. Тоесть первый элемент равен полиному от первого элемента данной матрицы, второй - полиному от второго, ... ?

Получается что НЕ диагональные матрицы коммутировать не будут?

ewert писал(а):

(выбрав для удобства диагональную матрицу так, чтобы все одинаковые элементы оказались сгруппированными

она дана, я не могу ее выбрать, но приведение к Жордановой форме их переставит!


Кстати это единственное чем Жoрданова форма лучше диогональной?

[Draeden]

Крестиком я обозначил произведение Кронекера, "vec" это векторизация матриц. Посмотрите в инете определение этих операций и всё сразу станет понятно.

[ewert]

AlexNew в сообщении #178750 писал(а):

смущает то что по книжке получается что искомые элементы должны быть полиномами от элементов данной диогональной матрицы. Тоесть первый элемент равен полиному от первого элемента данной матрицы, второй - полиному от второго, ... ?

Я книжку не читал (хотя и заглянул), но это какая-то путаница.
Если все диагональные элементы различны, то полином степени $(n-1)$ от $B$ даёт общий вид перестановочной матрицы.

Следует это хотя бы из того, что подбором коэффициентов многочлена можно будет получить какие угодно наборы собственных чисел матрицы $A$ (взяв в качестве полинома соответствующий интерполяционный, построенный по собственным числам исходной матрицы $B$).

AlexNew в сообщении #178750 писал(а):

Кстати это единственное чем Жарданова форма лучше диогональной?

Она не лучше, а хуже (сложнее) -- просто она более общая.

Добавлено спустя 3 минуты 50 секунд:

Draeden в сообщении #178756 писал(а):

Крестиком я обозначил произведение Кронекера, "vec" это векторизация матриц. Посмотрите в инете определение этих операций и всё сразу станет понятно.

Да, собственно, и без Кронекера понятно, что система уравнений -- линейная. И этот способ действительно хорош тем, что логически проще и, кроме того, для конкретной матрицы решение получается за конечное количество шагов (в отличие от диагонализации).

Только он совершенно непрозрачен.