Помогите разобраться какой метод использовать

[dimonpc]

Задача на методы оптимизации:
Найти расстояние от точки B$(2;5)$ до окружности $(x_1-7)^2 + (x_2-3)^2 = 4$

[AD]

Нужно нарисовать картинку - и, глядя на нее, догадаться, какая точка будет ближайшей.

Потом доказать, что ответ правильный.

Добавлено спустя 1 минуту 14 секунд:

При желании можно использовать правило множителей Лагранжа.

[Алексей К.]

AD в сообщении #177724 писал(а):

Нужно нарисовать картинку - и, глядя на нее, догадаться, какая точка будет ближайшей.

Дык вроде точка задана, окружность задана... Мне не видится здесь оптимизации. $\sqrt{29}-2$. И типа всё... И всё типа.

[ewert]

а я вот не знаю, что такое оптимизация. Ну, допустим, нужно найти минимум некоей функции. Ну дык надо выписать сию функцию -- и найти. А поскольку она в данном случае квадратична, так в чём и вопрос.

Другое дело, что в данном случае задача допускает геометрическое решение. Но это, с чисто пуристской точки зрения -- ужо не оптимизационное решение.

[t3rmin41]

По-моему, тут можно функционал и вариационное исчисление применить. А может и нет

[Brukvalub]

t3rmin41 в сообщении #177763 писал(а):

По-моему, тут можно функционал и вариационное исчисление применить. А может и нет

Какой функционал? Это конечномерная задача.

[Алексей К.]

t3rmin41 в сообщении #177763 писал(а):

По-моему, тут можно функционал и вариационное исчисление применить

Т.е. моё устное решение без Эльсгольца типа неправильное? Я вовсе типа не гений?

Добавлено спустя 3 минуты 44 секунды:

ewert в сообщении #177755 писал(а):

Ну дык надо выписать сию функцию -- и найти.

$F(\mbox{ХЗ})=\left|\sqrt{(2-7)^2+(5-3)^2}-\sqrt4 \right| \quad ?$

[gt]

Пусть точка с координатами $(x_{01}, x_{02})$ - ближайшая на окружности. Тогда вектор с координатами $(x_{01}-2, x_{02}-5)$ перпедикулярен направляющему вектору касательной. Значит, их скалярное произведение равно нулю. Так получается первое уравнение на $x_{01}, x_{02}$. Чтобы отыскать координаты направляющего вектора касательной к окружности, необходимо использовать производную функции, заданной неявно в точке $(x_{01}, x_{02})$ к $F(x_1,x_2)=(x_1-7)^2+(x_2-3)^2-4$.
Второе уравнение получается простой подстановкой $(x_{01}, x_{02})$ в уравнение окружности.
Далее решается система с двумя уравнениями и двумя неизвестными

[Someone]

Вероятно, имелся в виду метод множителей Лагранжа.

[Алексей К.]

А, понял... надо не изображать из себя умного, а найти минимум такой-то функции при таком-то условии... Ну, а потом вернуться и проверить себя. Сорри за неуместные вмешательства.

[PAV]

А нужна ли здесь оптимизация с ограничениями? Если параметризовать окружность через угол и написать квадрат расстояния от заданной точки до точки на окружности, то получается обычная задача на минимум функции, которую, вероятно, легко решить через производные.

[dimonpc]

Спасибо всем!

То есть я минимизирую функцию квадрата расстояния:
$(x_1-2)^2 + (y_1-5)^2\to min$
с ограничением : $(x_1-7)^2 + (y_1-3)^2-4=0$
Затем строю функцию Лагранжа:
$L= (x_1-2)^2 + (y_1-5)^2+$$\lambda$$((x_1-7)^2 + (y_1-3)^2-4)$
Все верно?

[Brukvalub]

Да.

[dimonpc]

Спасибо! Решил!