Лемма Римана-Лебега (преобразование Фурье на бесконечности)

[Draeden]

Есть теорема о том, что преобразование Фурье стремится к нулю на бесконечности:

$f \in L(\mathbb{R})$
$F(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-ixt}dt$
$F(x) \to^{x \to \infty} 0$

Вопрос: как это доказать ? Обычно эта лемма доказывается так: исходную функцию приближают диффиренцируемой. Разность функций мала, а для дифференцируемой функции лемму легко доказать. В данном случае функция интегрируема по лебегу и приближать её можно ступенчатыми функциями, но такие функции могут иметь довольно жуткий вид (например функция Дирихле лишь самая простая из них).

[ewert]

Стандартная стратегия:

1). Обрубаем хвосты на сколь угодно малом уровне (при достаточной ширине интервала).

2). На конечном интервале функция из эль-один в соотв. метрике сколь угодно точно приближается сколь угодно гладкими; ну, например, просто гладкими.

3). Для гладкой функции стремление к нулю очевидно.

(ну и, естественно, важно, что первые два приближения равномерны по омегам)

[Draeden]

Мне как раз не хватает 2-го пункта. Как это доказать ? Разве функцию Дирихле на отрезке можно приблизить гладкой функцией ?

[AD]

Draeden в сообщении #176144 писал(а):

Разве функцию Дирихле на отрезке можно приблизить гладкой функцией ?

Тождественно нулевая её отлично приближает. В пространстве $L_1$. Не забывайте - бывают разные виды сходимости!

Добавлено спустя 3 минуты 31 секунду:

Кстати, на вопрос "можно ли сочинить последовательность непрерывных функций, сходящуюся к функции Дирихле почти всюду" отвечает теория классов Бэра. Отвечает отрицательно: у всех функций, являющихся пределом последовательности непрерывных, будет множество разрывов первой категории Бера, а отрезок - множество второй категории

[ewert]

Draeden в сообщении #176144 писал(а):

Как это доказать ?

Опять же вполне шаблонный приём -- свернуть исходную функцию с дельтообразным ядром необходимой гладкости.

Видите ли, этот пункт имеет вполне самостоятельную ценность, притом идейную: любую "плохую" функцию можно всегда сколь угодно точно приблизить с помощью любых "хороших", а конкретизации могут быть самыми разными.

[Draeden]

"Опять же вполне шаблонный приём -- свернуть исходную функцию с дельтообразным ядром необходимой гладкости"

Мне бы так шаблонно думать Мне известно, что такое "свёртка", но про "дельтообразные ядра" я ничего не слышал

"у всех функций, являющихся пределом последовательности непрерывных, будет множество разрывов первой категории Бера, а отрезок - множество второй категории"

Не смогу поспорить, даже если захочу

[Cave]

AD
М-м, по-моему, всё не так.
Отрезок - множество нулевой категории, как и все открытые и замкнутые множества. А функция Дирихле не является функцией 1-го класса Бэра, потому что согласно теореме Бэра у такой функции на любом подотрезке есть точка непрерывности (у него ещё более сильное утверждение). Или можно по критерию Лебега: функция принадлежит 1-му классу Бэра, если для любого вещественного числа множество точек, где она больше этого числа, принадлежит $F_{\sigma}$, так же как и множество точек, где она меньше этого числа. Например, по с использованием теоремы Бэра о непредставимости отрезка в виде счётного объединения нигде не плотных множеств доказать, что $Q\cap [0;1]\notin G_{\delta}$, и воспользоваться критерием, взяв 1/2 в качестве границы.

[AD]

Да? Ну, значит, я тоже вот взялся говорить о том, чего не знаю. Может, тогда поможете мне разобраться тоже?

Cave в сообщении #176162 писал(а):

Отрезок - множество нулевой категории, как и все открытые и замкнутые множества.

Не, это Вы, по-моему, про другие категории какие-то говорите. Это что-то борелевское такое. У Бэра всего две категории было - первая и вторая. Ну то есть представляется счетным объединением нигде не плотных множеств или не представляется.

Cave в сообщении #176162 писал(а):

согласно теореме Бэра у такой функции на любом подотрезке есть точка непрерывности (у него ещё более сильное утверждение)

Ну ни это ли разве - что у нее множество точек разрыва будет первой категории? Из него Ваше следует сразу.

[Draeden]

Break! Категории Бэра конечно штука хорошая, но всё же лучше вернуться к приближению измеримой функции дифференцируемой

[Cave]

AD
Так, навёл некоторые справки по Натансону.
Про категории множеств по Бэру понял, первой категории действительно такие, других не нашёл, но охотно верю, что они есть.
Теорема Бэра же сформулирована так: если на отрезке $[a;b]$ функция первой категории $f(x)$ конечна, то для любого замкнутого $F\subset [a;b], F\ne\varnothing$ в нем есть точка непрерывности индуцированной на нём функции $f_F(x)$. Верно и обратное.
Не знаю, равносильно ли это тому, что множество точек разрыва имеет первую категорию по Бэру.

Draeden
Измеримые приближаются непрерывными в $L_1$, а непрерывная - бесконечно глдакими по равномерной норме (например, полиномами). Этого не достаточно?

[ewert]

Хм.
Функции класса $L_1$ сколь угодно точно приближаются "простыми", т.е. принимающими конечное количество значений. Это -- просто по определению интеграла Лебега. Значит, всё сводится к приближению одной характеристической функции произвольного измеримого множества.

Далее, измеримое множество можно сколь угодно точно по мере приблизить конечными наборами прямоугольников (а тогда и характеристическая функция в метрике $L_1$ соответствующим образом приближается).

Ну а уж возможность сглаживания характеристической функции прямоугольника -- банальна.

[Юстас]

А если просто сделать замену переменной $y=t\cdot x$? Плюс теорема Лебега..

[Draeden]

ewert
Спасибо! Я совсем забыл, что измеримые множества приближаются прямоугольниками.

Юстас
Учитывая, что тут параллельно идёт дискуссия про категории Бэра, спрошу: это вы про Лебега или про Бэра ?

[AD]

Юстас писал(а):

А если просто сделать замену переменной $y=t\cdot x$? Плюс теорема Лебега..

Не уверен, что получится промажоровать.