Предел последовательности, заданной рекуррентно

[ecursionr]

По теореме Вейерштрасса доказать сходимость последовательности и найти предел

$x_1=3/2$
$x_{n+1}^2=3x_n-2$
$x_n\ge 0$
$n\ge2$

как избавиться хорошо от квадрата?

[bot]

ecursionr в сообщении #175831 писал(а):

как избавиться хорошо от квадрата?

Прям-таки провоцируете на ответ: - зачерните его и усё.
Ну да ладно, спрошу другое.
А зачем от него избавляться?
Лучше бы посмотрели, с помощью чего Вам предлагают доказать сходимость.
Кстати, во избежании путаницы эту теорему обычно называют по-другому, не по имени.

[ewert]

угу, теорем Вейерштрасса -- как собак нерезаных, так что ссылаться в условии задачи на "теорему Вейерштрасса" -- вообще говоря, неприлично.

Надо полагать, имелась в виду всё же теорема о монотонных последовательностях. Тогда надо так: доказать, что при начальном приближении из интервала $(1;\,2)$ все последующие будут оставаться в этом же интервале. И при этом меняться монотонно (кстати, в какую сторону?).

А границы интервала получены из уравнения $x^2=3x-2$ -- его всё равно придётся решать для вычисления предела.

[ecursionr]

ewert писал(а):

угу, теорем Вейерштрасса -- как собак нерезаных, так что ссылаться в условии задачи на "теорему Вейерштрасса" -- вообще говоря, неприлично.

Надо полагать, имелась в виду всё же теорема о монотонных последовательностях. Тогда надо так: доказать, что при начальном приближении из интервала $(1;\,2)$ все последующие будут оставаться в этом же интервале. И при этом меняться монотонно (кстати, в какую сторону?).

А границы интервала получены из уравнения $x^2=3x-2$ -- его всё равно придётся решать для вычисления предела.

непонятно как была получена формула $x^2=3x-2$
Ведь там $x_n$ и $x_{n+1}$, как их подписали под одну переменную?
И почему корни будут границами интервала?

[PAV]

Предположим, что мы уже доказали, что $x_n\to x$ при $n\to\infty$ и теперь хотим это значение $x$ найти. Возьмите свое основное рекуррентное соотношение и перейдите в нем к пределу при $n\to\infty$.

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Возможно, если вместо $x$ Вы обозначите этот предел другой буквой, например, $a$, то будет чуть меньше шансов запутаться в этих обозначениях.

[ecursionr]

а как по матиндукции доказать что
$x_{n}^2=3x_n-2$

[ewert]

да при чём тут индукция, и равенство это, разумеется, неверно. PAV ведь уж совершенно открытым текстом сказал: уравнение получится, если в обеих частях рекуррентного соотношения перейти к пределу (в предположении, что предел последовательности существует).

[Someone]

Никак не доказать, потому что это неверно. А Вам это зачем?

План решения такой.
1) Обоснуйте существование предела. Перепишите рекуррентное соотношение в виде $x_{n+1}=\sqrt{3x_n-2}$.
а) Выясните, что больше - $x_2$ или $x_1$, и по индукции докажите, что между $x_{n+1}$ и $x_n$ - такой же знак неравенства.
б) По индукции докажите, что $1<x_n<2$ (пункты а и б можно объединить в один).
в) Используйте теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности.
2) В рекуррентном соотношении $x_{n+1}^2=3x_n-2$ перейдите к пределу при $n\to\infty$.