аналитическая функция в виде ряда

[Таня Тайс]

Решаю задачу по квантовой механике и возник такой вопрос:
Каждую аналитическую функцию можно представить в виде

$$ f_{1}(A)= \sum_{n} c_{n}A^{n}$$

Верно ли, что функцию двух операторов, не коммутирующих между собой, можно представить в виде

$$ f_{2}(A,B)= \sum_{n} a_{n}A^{n} \sum_{m} b_{m} B^{m} + \sum_{n} c_{n} B^{n} \sum_{m} d_{m} A^{m} $$

Чем больше думаю, тем больше запутываюсь.
Спасибо за помощь.

[ewert]

ну, я квантовую механику уже очень давно сдал, но всё-таки: а что формально понимается под операторной функцией двух переменных?

(в качестве контрвопроса: можете ли Вы представить своим способом функцию $f_2(A,B)=ABA\ ?$)

[Таня Тайс]

ewert писал(а):

ну, я квантовую механику уже очень давно сдал, но всё-таки: а что формально понимается под операторной функцией двух переменных?

(в качестве контрвопроса: можете ли Вы представить своим способом функцию $f_2(A,B)=ABA\ ?$)

На контрвопрос ответ - нет, не могу. Значит, это уж точно не верно.
Насчёт определения - у нас на лекции оно было сформулировано только для $ f(A) $, причём определение дано как раз через ряд (Тейлора?): $ f(A) :=\sum_{k} f_{k} A^{k} $. Сейчас ищу в литературе что-нибудь. Как же тогда представить $ f(A,B)$ ?

[ewert]

Скорее всего -- как двойной степенной ряд, но тогда в группе слагаемых каждой фиксированной степени $n$ должны присутствовать все $2^n$ возможных произведений.

[Alien]

А как вы определяете аналитическую функцию от оператора?

Я к тому, что в физике немного грешат туманностью определений, как в вашем случае, понятием "аналитичности" функции. Но это не так критично, так как в подавляющем большинстве задач в квантовой механике достаточно ограничится функциями от оператора типа сложения, умножения, дифференцирования, экспоненты и логарифма. Достаточно знать свойства каждой из этой функций по отдельности, не вникая в свойства функций в принципе.

[Таня Тайс]

Таня Тайс писал(а):

$ f(A) :=\sum_{k} f_{k} A^{k} $

[Хорхе]

Таня Тайс писал(а):

Верно ли, что функцию двух операторов, не коммутирующих между собой, можно представить в виде ...

Какую-то можно. Какую-то нельзя.

[Alien]

Хорхе писал(а):

Какую-то можно. Какую-то нельзя.

Согласен. Более того, даже если учесть все слагаемые, о которых упоминал ewert, то всё равно клас функций f_2(A,B), допускающих подобное разложение будет ограничен. Можно задаться вопросом, каков этот клас функций? Я ответа не знаю. Вероятнее всего, ответ будет зависеть также и от множества операторов, на которых действует данная функция (эрмитовы, унитарны, действуют в гильбертовом пространстве, матрицы n*n, и т.д.).

[Хорхе]

Автору: я думаю, что помощь Вам упростится, если Вы изложите (математический аспект) задачи по квантовой механике, которую Вам надо решить.

[Таня Тайс]

Задача: Дано $f = f(A,B)$, $U$ - унитарный оператор, $f^{t}=UfU^{+}$ Показать, что $f^{t}=f(A^{t},B^{t})$,
где $A^{t}= UAU^{+}, \; B^{t}= UBU^{+}$

Решение:
Каждую аналитич. функцию можно представить как ряд (при этом умалчивается, как! ), значит достаточно проверить для операций сложения и умножения:
$UABU^{+}=UAU^{+}UBU^{+} = A^{t}B^{t}$ и
$U(A+B)U^{+}=A^{t}+B^{t}$
что и требовалось.

Мне непонятно, как это так легко такой вывод делается... Можно ли так аргументироавть и почему?

Про функцию $f(A,B)$ ничего не сказано, кроме того что операторы $A,B$ не обязательно коммутируют.

Добавлено спустя 11 минут 28 секунд:

Alien в сообщении #176005 писал(а):

в подавляющем большинстве задач в квантовой механике достаточно ограничится функциями от оператора типа сложения, умножения, дифференцирования, экспоненты и логарифма. Достаточно знать свойства каждой из этой функций по отдельности, не вникая в свойства функций в принципе.

то есть всё сводится к сложению и умножению? Круто!

Alien в сообщении #176005 писал(а):

в физике немного грешат туманностью определений

это точно

[Alien]

Вы сделали всё то, что от вас требовалось. Вам достаточно будет сказать, что при разложении "аналитической" функции в ряд возникнут слагаемые типа A^{n_1}B^{n_2}A^{n_3}B^{n_4}... и только такие, а далее произвести унитарное преобразование над этим слагаемым именно так, как вы и сделали.

[Таня Тайс]

Спасибо

[Хорхе]

Таня Тайс писал(а):

Каждую аналитич. функцию можно представить как ряд (при этом умалчивается, как! ),

Вот!
На самом деле обычно аналитическая функция от матриц так и определяется --- как ряд членов вида

Цитата:

$A^{n_1}B^{n_2}A^{n_3}B^{n_4}\dots$

(с некоторыми коэффициентами, разумеется).

Другого определения аналитической функции от матриц я не знаю.

[ewert]

Хорхе в сообщении #176020 писал(а):

, если Вы изложите (математический аспект) задачи по квантовой механике,

тут дело в том, что квантовые механики обычно гордо пренебрегают точным математическим смыслом своих формальных манипуляций