Задачи в дифференциальной геометрии (3D)

[Sintanial]

Ребят помогите пожалуйста решить пару задач из дифф геометрии. Вообще не пойму как решить такое

1)Найти уравнение линий на сфере $x=acos (u) sin (u) $ $y=asin (u) sin (v) $ $z=acos (v) $ , делящих углы между параллелями и меридианами пополам.
2)Найти первую квадратичную форму поверхностей, образованных касательными, главными нормальями и бинормалями линии $r =r (u)$ где $u$ натуральный параметр

[Алексей К.]

(1) Я бы воспользовался стереографической проекцией плоскости на сферу и обратно. Известно, что она сохраняет углы. Спроектировав сферу на плоскость, вы получите вместо меридианов и параллелей лучи $\varphi=const$ и окружности $r=const$ полярной системы координат. Искомая кривая на плоскости хорошо известна --- это лог. спираль $r=\mathrm{e}^{ \varphi\ctg\nu}$ (Вам надо $\nu=\pi/4$). Взад её на сферу, и всё!
Не уверен, что от Вас ждут именно такого решения.

(2) Здесь бы я почитал учебник, но у меня его нет.

[Sintanial]

Цитата:

(1) Я бы воспользовался стереографической проекцией плоскости на сферу и обратно. Известно, что она сохраняет углы. Спроектировав сферу на плоскость, вы получите вместо меридианов и параллелей лучи $\varphi=const$ и окружности $r=const$ полярной системы координат. Искомая кривая на плоскости хорошо известна --- это лог. спираль $r=\mathrm{e}^{ \varphi\ctg\nu}$ (Вам надо $\nu=\pi/4$). Взад её на сферу, и всё!
Не уверен, что от Вас ждут именно такого решения.

Да, я тоже думаю что такова решения от меня точно не ждут . Я только на втором курсе. О стереографической проекции впервые слышу что ето такое =), да и с полярной системой координат мы поверхностно знакомы =) !. Но спасибо за помощь, что то новое узнал =) !

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #175703 писал(а):

(2) Здесь бы я почитал учебник, но у меня его нет.

Собственно, чего тут читать? Написать уравнение касательной (нормали и пр.) к кривой в точке $r(u)$. Личный параметр $t$ касательной (нормали и пр.) вместе с параметром кривой $u$ дадут параметрические уравнения поверхности. $X(t,u),\:Y(t,u),\; Z(t,u)$. Осталось слазить в справочник/учебник/ентернет за подзабытой первой квадратичной формой. Задачка вроде как тупая совсем...

Добавлено спустя 8 минут 19 секунд:

Sintanial в сообщении #175714 писал(а):

да и с полярной системой координат мы поверхностно знакомы =)

А вот это как-то противоречиво... Возиться с поверхностями, решать задачу в сферической системе координат и не знать про полярную?
И как можно с ней быть "поверхностно" или "глубоко" знакомым?
Чо-то здесь не так...

Начинайте решать. Напишите уравнение, например, касательной к кривой $r(u)=[x(u),y(u),z(u)]$.
$X(t),\mbox{~а по сути,~}X(t,u)=x(u)+tx'_u, \ldots$

[vvvv]

Если я не ошибаюсь, то кривая должна выглядеть так.


Добавлено спустя 8 минут 59 секунд:

Или так.