Что такое базис?

[xaxa3217]

Для линейного нормированного пространства определяется базис (видимо Ша́удера) как:

Цитата:

Система векторов ${e_n}$ называется базисом, если :
1) она линейно независима, точнее любая конечная подпоследовательность не является ЛЗ
2) любой элемент этого пространства представляется в виде $\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_ke_k$
где числа $\alpha_k$ называем координатами в базисе

Затем идет утверждение касательно единственности разложение по координатам. Сразу скажу, что например в википедии определение базиса Ша́удера, в отличие от нашего, уже включает требование единственности разложения. На этом моменте у меня возникла проблема - берем пространство $l_2$, за систему $e_i=(0, .., 1, 0, 0,..)$ (на $i$-ой позиции единичка). Эта система образует базис: ЛНЗ очевидна, любая последовательность из $l_2$ так же просто раскладывается в ряд с коэфф. равными значению в соотв. позиции. Добавим к нашей системе $e_0 = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, ..)$ тк все элементы ненулевые, то представить $e_0$ через конечную линейную комбинацию остальных нельзя, значит новая система по прежнему ЛНЗ. Ставя первым коэф. в разложении ноль, любой элемент $l_2$ будет по прежнему раскладываться в сходящийся ряд к этому элементу, однако тот же $e_0$ можно выразить очевидным образом как минимум двумя способами.. вопрос - это проблема с моей головой или путаница в терминологии?

[Хорхе]

xaxa3217 писал(а):

Для линейного нормированного пространства определяется базис (видимо Ша́удера) как:

Цитата:

Система векторов ${e_n}$ называется базисом, если :
1) она линейно независима, точнее любая конечная подпоследовательность не является ЛЗ
2) любой элемент этого пространства представляется в виде $\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_ke_k$
где числа $\alpha_k$ называем координатами в базисе

Откуда такое определение?

[xaxa3217]

из лекций, но меня допрашивать бесполезно, они, во-первых, не мои, а, во-вторых, мне нужно только получить ответ на поставленный выше вопрос.

[Хорхе]

Ответ на вопрос: это путаница в терминологии.

[Techno88]

наверно все-таки вот так $\[ \sum\limits_{k = 1}^n {a_k e_k } \]$ а не так$\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_k e_k } \]$

[AD]

Techno88, Вы не в теме Тут речь идет о функциональном анализе - о "базисах Шаудера" в бесконечномерных нормированных пространствах.

[Techno88]

ну тогда извините

[AD]

Да ничё. В этом разделе не наказуемо.

[id]

Базисы Шаудера в нормированных, но не почти гильбертовых пространствах не так уж часто применяются ( по крайней мере в стандартном курсе ФАна ), ну а в почти гильбертовых уже будет единственность разложения по тотальной ортонормированной системе.

[ewert]

xaxa3217 в сообщении #173990 писал(а):

Сразу скажу, что например в википедии определение базиса Ша́удера, в отличие от нашего, уже включает требование единственности разложения.

Единственность, естественно, должна требоваться. Другой вопрос, в какой форме. Единственность разложения равносильна линейной независимости элементов базиса (т.е. претендующих на базисность). Возможно, в том курсе лекций, о котором Вы говорите, постулировалась именно линейная независимость, а единственность из неё выводилась.

Ваш замечательный контрпример показывает только одно: что счётная независимость -- требование существенно более жёсткое, чем конечная независимость. Разумеется, если базис счётный, то и требование линейной независимости тоже должно налагаться в счётном варианте.