Альфа-сопряженное и просто сопряженное для пространства l_p

[id]

Интересует, есть ли простое ( без использования теоремы о том, что $L^*_p$ изометрично $L_q$, $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$ ) доказательство того факта, что $l^*_p$ изометрично $l_q$, $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$? То, которое первое, известно, но хочется проще.

Известно, что такое "простое" доказательство существует, но в специальном случае - если рассматривать пространства последовательностей $\mathfrak{x} = {x_i} = (x_1,x_2,...)$ с $\alpha$-сопряженностью.

А именно - пусть $\lambda$ - данное пространство последовательностей, тогда $\lambda^{\alpha} = \lambda^*$, где $\lambda^*$ - пространство всех таких $\mathfrak{u} = (u_i)$: $\forall \mathfrak{x} \in \lambda$ $\mathfrak{u}\mathfrak{x} = \sum x_i u_i$ сходится абсолютно.

$l_p$ определяется как пространство последовательностей, где $\sum |x_i|^p <\infty$

Тогда, действительно, известно, что в данном смысле $l^*_p$ есть $l_q$, где $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$. ( источник - Koethe, Topological Vector Spaces, I, Chapter 6)

Вопрос поэтому логичен - а) как попроще доказать оригинальное утверждение
б) если для этого можно использовать $\alpha$-сопряженность, то как корректно это обосновать.

[id]

Все-таки было бы интересно услышать хотя бы гипотезы, поскольку... доказывать общий случай $L^*_p$ ( который и в лекциях был БД, к тому же ) на экзамене, если спрашивается только $l^*_p$ как-то не хочется.

Может быть, воспользоваться записью оператора ( функционала ) в базисе Шаудера ( для l_p - просто система ортов )?

[Brukvalub]

А разве это не получается почти непосредственно из неравенства Гёльдера?

[id]

Brukvalub
Вложенность $l_q$ в $l^*_p$ да, получается непосредственно из неравенства Гёльдера, но нужно еще доказать, что в пространстве последовательностей нет другого функционала на $l_p$, отличного от $l_q$.

То есть предполагаем, что $\mathfrak{v} \notin l_q, \sum |v_i|^q = \infty$, и дальше подбираем такой $\mathfrak{x} \in l_p$, чтобы $\mathfrak{x} \mathfrak{v} = \infty$.

Это я про $\alpha$-сопряженность, если что.

[AGu]

id писал(а):

Вложенность $l_q$ в $l^*_p$ да, получается непосредственно из неравенства Гёльдера, но нужно еще доказать, что в пространстве последовательностей нет другого функционала на $l_p$, отличного от $l_q$.

Пусть $T\in\ell_p^*$. Положим $y=(Te_1,Te_2,\dots,Te_n,\dots)$,
где $e_n=(0,0,\dots,0,1,0,0,\dots)$ с единицей в $n$-й позиции.

Покажем, что $y\in\ell_q$.
Действительно, для всякого $N\in\mathbb N$ имеем
$s_N := \sum_{n=1}^N |Te_n|^q = \sum_{n=1}^N {\rm sign}(Te_n)\cdot Te_n\cdot|Te_n|^{q/p} =$
$= T\bigl(\sum_{n=1}^N {\rm sign}(Te_n)\cdot|Te_n|^{q/p}\cdot e_n\bigr) \leqslant$
$\leqslant \|T\|\cdot\bigl\|\sum_{n=1}^N {\rm sign}(Te_n)\cdot|Te_n|^{q/p}\cdot e_n\bigr\|_p = \|T\|\cdot (s_N)^{1/p}$.
Следовательно, $s_N\leqslant \|T\|^q$ для всех $N\in\mathbb N$, а значит, $y\in\ell_q$.

Осталось заметить, что $Tx = \sum_{n=1}^\infty x_ny_n$ для всех $x\in\ell_p$.
(Это следует из линейности и непрерывности $T$
с учетом сходимости $\sum_{n=1}^\infty x_ne_n=x$ в $\ell_p$.)

[id]

AGu
Brukvalub

Спасибо!
Вроде бы разобрался.

[id]

Кстати, вот эти два фрагмента доказательства AGu

Цитата:

Пусть $T\in\ell_p^*$. Положим $y=(Te_1,Te_2,\dots,Te_n,\dots)$,
где $e_n=(0,0,\dots,0,1,0,0,\dots)$ с единицей в $n$-й позиции.

Цитата:

Осталось заметить, что $Tx = \sum_{n=1}^\infty x_ny_n$ для всех $x\in\ell_p$.
(Это следует из линейности и непрерывности $T$
с учетом сходимости $\sum_{n=1}^\infty x_ne_n=x$ в $\ell_p$

получается, и обосновывают то, что всякий функционал из сопряженного к $l_p$ будет представим в виде функционала из $\alpha$-сопряженного к $l_p$?

[AGu]

id писал(а):

Кстати, вот эти два фрагмента доказательства AGu
[...]
получается, и обосновывают то, что всякий функционал из сопряженного к $l_p$ будет представим в виде функционала из $\alpha$-сопряженного к $l_p$?

Если знать, что $\alpha$-сопряженное к $\ell_p$ есть $\ell_q$, то да.

[id]

AGu
Большое спасибо.
Теперь, думаю, разобрался еще больше.