Две задачи о максимальном идеале

[Alexiii]

Правильны ли доказательства?
1.Если $m$ идеал в коммутативном кольце $A$ и $A/m$ поле,то $m$ максимальный идеал.
2.Прообраз максимального идеала при кольцевом эпиморфизме максимальный идеал.

Док-во:
1. Пусть $n\neq m$ идеал в $A$. Тогда существует в $n$ ненулевой $x$,не принадлежащий $m$.Так как $A/m$ поле,то для $x$ найдется обратный $y$;значит $1\in n$ ,то есть $n=A$.
ЧТД
2. Пусть имеем кольцевой эпиморфизм $f:A\rightarrow B$,где $m'$ - максимальный идеал в $B$. Покажем максимальность идеала $m=f^{-1}(m')$ (доказательсто того,что прообраз идеала при гомоморфизме - идеал,тривиально).
Эпиморфизм $f$ индуцирует эпиморфизм мономорфизма $g:A/m\rightarrow B/m'$,то есть $g$ станет изоморфизмом,а значит прообраз поля $B/m'$ - $A/m$ будет полем,то есть $m$ - максимальный идеал.
ЧТД
Спасибо за внимание!

[Alexiii]

Вроде,все верно

[Профессор Снэйп]

Первое мне сильно не нравится.

Alexiii писал(а):

1. Пусть $n\neq m$ идеал в $A$. Тогда существует в $n$ ненулевой $x$,не принадлежащий $m$.

С какой это радости такой $x$ существует? А вдруг $n \subset m$? Нужно рассматривать не произвольный $n \neq m$, а $n \supset m$.

Alexiii писал(а):

Так как $A/m$ поле,то для $x$ найдется обратный $y$;значит $1\in n$ ,то есть $n=A$.
ЧТД

О какой единице идёт речь? То, что исходное кольцо содержит единицу, вроде нигде в условии не сказано; в $A$ единицы вообще может не быть. В поле единица, конечно, есть, но эта единица --- элемент фактор-кольца $A/m$, то есть некий смежный класс по идеалу $m$, являющийся подмножеством, а не элементом $A$.

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Со вторым тоже не всё гладко.

Alexiii писал(а):

Эпиморфизм $f$ индуцирует эпиморфизм мономорфизма $g:A/m\rightarrow B/m'$

Что такое "эпиморфизм мономорфизма"? Довольно бессмысленное сочетание слов!

[Alexiii]

Простите,я естественно подразумевал именно вариант $m\subset n$.

Коммутативное кольцо $A$ подразумевается с единицой,конечно (недавно мы начали этот предмет и пока определили кольцо именно с единицей,не допуская ее отсутствия).

Я имел в виду,что инъективный гомоморфизм $g$ будет эпиморфизмом(значит и изоморфизмом) из-за эпиморфности $f$.

[Профессор Снэйп]

Alexiii писал(а):

Коммутативное кольцо $A$ подразумевается с единицой,конечно (недавно мы начали этот предмет и пока определили кольцо именно с единицей,не допуская ее отсутствия).

Для кольца без единицы утверждение тоже верно. Попробуйте всё-таки доказать его в общем виде.

Добавлено спустя 3 минуты 39 секунд:

И даже если $A$ с единицей, то Ваше доказательство всё равно смущает. Вот этот момент раскройте поподробнее.

Alexiii писал(а):

Так как $A/m$ поле,то для $x$ найдется обратный $y$;значит $1\in n$ ,то есть $n=A$.
ЧТД

Обратный ведь не к $x$ найдётся, а к $x/m$, поскольку не $A$, а $A/m$ является полем!

[Alexiii]

О,нет,простите,действительно тупо выходит,так как тогда и $m$ будет равняться $A$ .
Докажу вот так:
Ненулевой $x$, содержащийся в $n$,образует главный идеал $xA$.
Рассмотрим идеал $m+xA$,который очевидно строго содержит $m$ и содержится в $n$.
Вот теперь так как $A/m$ поле,то для порождаемого элементом $x$ класса $x+m$ найдется такой элемент $y$,что $xy+m=1+m$.
Из последнего равенства следует,что будет иметь место равенство $xy+k=1$,где $k$ - элемент из $m$ (это очевидно,если в правом $m$ выберем нулевой элемент,то силой равенства $xy+m=1+m$ этому нулю будет соответствовать в левом $m$ некий его элемент $k$).
Если приглянуться,заметим,что $xy+k$($=1$) входит в идеал $m+xA$,то есть $m+xA=A$.Раз $n$ идеал в $A$,содержащий $m+xA$($=A$),то $n=A$.
ЧТД

Надеюсь,сейчас все верно
Низкий Вам поклон за замечания!

[AV_77]

Профессор Снэйп писал(а):

Alexiii писал(а):

Коммутативное кольцо $A$ подразумевается с единицой,конечно (недавно мы начали этот предмет и пока определили кольцо именно с единицей,не допуская ее отсутствия).

Для кольца без единицы утверждение тоже верно. Попробуйте всё-таки доказать его в общем виде.

То, что кольцо с единицей существенно. Если $A$ - кольцо без единицы и $\mathfrak{m}$ - его максимальный идеал, то факторкольцо $A/\mathfrak{m}$ не обязано быть полем. Так будет, например, когда $A = 2\mathbb{Z}$, $\mathfrak{m} = 4 \mathbb{Z}$.

[Профессор Снэйп]

AV_77 писал(а):

То, что кольцо с единицей существенно. Если $A$ - кольцо без единицы и $\mathfrak{m}$ - его максимальный идеал, то факторкольцо $A/\mathfrak{m}$ не обязано быть полем. Так будет, например, когда $A = 2\mathbb{Z}$, $\mathfrak{m} = 4 \mathbb{Z}$.

Вы не правы со своим замечанием. Речь ведь шла не о том, что фактор по максимальному идеалу обязан быть полем, а о том, что если фактор является полем, то идеал максимален. Последнее же для колец без единицы верно! Вы опровергаете не то утверждение, которое обсуждалось!

Добавлено спустя 10 минут 32 секунды:

Alexiii писал(а):

Надеюсь,сейчас все верно

Да, теперь всё верно. Непонятно правда, начерта Вам идеал $xA$ понадобился.

Досточно ведь $xy + k = 1$ для $k \in \mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{n} \Rightarrow 1 \in \mathfrak{n}$, безо всякого упоминания о идеале $xA$. Получается чуть короче.

Добавлено спустя 3 минуты 46 секунд:

И ещё: попробуйте всё-таки переписать доказательство так, чтобы оно годилось для колец без единицы. Изменения требуются совсем небольшие, а общность утверждения сильно увеличится, что есть very good

Добавлено спустя 7 минут 3 секунды:

Насчёт доказательства второго утверждения. Мне оно не нравится по двум причинам.

1) Слишком неестественно и замысловато. Есть более короткое и более естественное доказательство. Для прообраза максимального идеала просто тупо проверяется свойство максимальности.

2) Оно не годится для колец без единицы, несмотря на то, что исходное утверждение для этих колец верно.

Я бы на Вашем месте доказательство второго утверждения переписал.

[AV_77]

Профессор Снэйп писал(а):

Вы опровергаете не то утверждение, которое обсуждалось!

Прошу прощения.