Ряды Фурье и дифференциальные уравнения.

[Diom]

Имеется система дифференциальных уравнений в форме Коши. Система довольно сложна и потому аналитическому разрешению не поддается. Априори известно что решение представляет собой некоторые периодические функции. Не подскажете есть ли численно-аналитические способы отыскания приблизительного решения в виде рядов Фурье. (Использование рядов Тейлора не представляется возможным в виду периодичности решения).
Если таковые методы есть буду благодарен если вы вкратце расскажете их суть и укажите источник информации (на русском).

[V.V.]

А какая система?

[Diom]

V.V. писал(а):

А какая система?

Простите, не понял вашего вопроса. Система обыкновенных нелинейных диф.ур, в форме Коши, 13-го порядка, автономная.

ПС:Я слышал о некой общей теории гармонической линеаризации которая предполагает более точные результаты нежели отыскание одной гармонической составляющей (как при обычной гармонической линеаризации)

[V.V.]

Diom, я просил написать на форуме Вашу систему. Возможно, при взгляде на нее станет что-нибудь понятно.

[Diom]

Попробую несколько подробнее изложить проблему:
Имеется следующая система:
\left\{ \begin{array}{c} \dot{\vec{\omega}}=\mathbf{J}^{-1}\left(\mathbf{C}\left(\lambda\right)\mathbf{L}\left(\lambda\right)\left(\vec{F}^{1}\left(\lambda,\vec{q}\right)-\vec{F}^{2}\left(\lambda,\vec{q}\right)\right)+\mathbf{A}\left(\vec{\omega}\right)\mathbf{J}\vec{\omega}\right)\\ \dot{\lambda}=\dfrac{1}{2}\mathbf{B}\left(\vec{\omega}\right)\lambda\\ \dot{\vec{q}}=\mathbf{D}\vec{q}+\mathbf{V}\left(\vec{F}^{1}\left(\lambda,\vec{q}\right)+\vec{F}^{2}\left(\lambda,\vec{q}\right)\right)\end{array}\right.

где:
\mathbf{V}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1/m & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/m & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1/m\end{array}\right]; \mathbf{D}=\left[\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]; \mathbf{J}=\left[\begin{array}{ccc} J_{\bot} & 0 & 0\\ 0 & J_{\bot} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Vert}\end{array}\right]; \mathbf{A}\left(\vec{\omega}\right)=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -\omega_{3} & \omega_{2}\\ \omega_{3} & 0 & -\omega_{1}\\ -\omega_{2} & \omega_{1} & 0\end{array}\right]; \mathbf{B}\left(\vec{\omega}\right)=\left[\begin{array}{cccc} 0 & -\omega_{1} & -\omega_{2} & -\omega_{3}\\ \omega_{1} & 0 & \omega_{3} & -\omega_{2}\\ \omega_{2} & -\omega_{3} & 0 & \omega_{1}\\ \omega_{3} & \omega_{2} & -\omega_{1} & 0\end{array}\right]; \mathbf{C}\left(\lambda\right)=\left[\begin{array}{ccc} \lambda_{0}^{2}+\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}-\lambda_{3}^{2} & 2\left(\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{0}\lambda_{3}\right) & 2\left(\lambda_{1}\lambda_{3}-\lambda_{0}\lambda_{2}\right)\\ 2\left(\lambda_{1}\lambda_{2}-\lambda_{0}\lambda_{3}\right) & \lambda_{0}^{2}-\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}-\lambda_{3}^{2} & 2\left(\lambda_{2}\lambda_{3}+\lambda_{0}\lambda_{1}\right)\\ 2\left(\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{0}\lambda_{2}\right) & 2\left(\lambda_{2}\lambda_{3}-\lambda_{0}\lambda_{1}\right) & \lambda_{0}^{2}-\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}\end{array}\right]; \mathbf{L}\left(\lambda\right)=\left[\begin{array}{ccc} 0 & L & -\dfrac{2L\left(\lambda_{2}\lambda_{3}-\lambda_{0}\lambda_{1}\right)}{\lambda_{0}^{2}-\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}}\\ -L & 0 & \dfrac{2L\left(\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{0}\lambda_{2}\right)}{\lambda_{0}^{2}-\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}}\\ \dfrac{2L\left(\lambda_{2}\lambda_{3}-\lambda_{0}\lambda_{1}\right)}{\lambda_{0}^{2}-\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}} & -\dfrac{2L\left(\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{0}\lambda_{2}\right)}{\lambda_{0}^{2}-\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}} & 0\end{array}\right].

F^{1}\left(\lambda,\vec{q}\right) и F^{2}\left(\lambda,\vec{q}\right) - некоторые силовые поля.


Задача заключается в том чтобы исследовать зависимость решения, а точнее говоря, наличие и приблизительную амплитуду тех или иных гармонических составляющих в векторе \omega в зависимости от "формы" полей F^{1} и F^{2}

[Diom]

Господа, ну может хоть какая то идея будет как можно подобную систему исследовать?

[V.V.]

Я что-то подобное видел у Борисова, Мамаева в журнале РХД.

[V.V.]

А какой была изначальная 18-мерная система?

Много ли ее первых интегралов известно?

[Diom]

V.V. писал(а):

А какой была изначальная 18-мерная система?

Много ли ее первых интегралов известно?

Почему 18 мерная? Вроде бы это тот вид который был изначально (понижения размерности я пока не осуществлял)

На счет первых интегралов - я их пока не искал, впрочем и не уверен что мне удастся отыскать их для такой системы. Ну вообще если положить что поле сил потенциальное то как минимум один будет известен — энергия. Но боюсь что использование первых интегралов для понижения размерности приведет систему к совсем безобразному виду.

[V.V.]

Ну, как? Всякие вращения описываются гамильтоновыми системами (т.е. порядок должен быть четным). А введение кватернионов, если верить Борисову и Мамаеву, понижает порядок систему, не слишком ее портя, на 5.