Задача min max для многоугольников

[Норберт]

Фиксруем некоторый выпуклый n-угольник $m_n$. Для каждой фиксированной вершины $a_i$ проведем всевозможные диагонали выходящие из нее. Получится n-2 треугольника, обозначим $S_{n,i}$ - наибольшую из площадей этих треугольников. Требуется найти функцию $s(n) = \inf_{m_n \in M_n} max_{i \in \{1 ... n\}} \frac {S_{n,i}} {S_n}$, где $M_n$ - множество выпуклых n-угольниокв, $S_n$ - площадь $m_n$. Также интересено что получится если $M_n$ множество произвольных многоугольников.

[Brukvalub]

Норберт в сообщении #173751 писал(а):

Фиксруем некоторый выпуклый n-угольник $m_n$. Для каждой фиксированной вершины $a_i$ проведем всевозможные диагонали выходящие из нее. Получится n-2 треугольника, обозначим $S_{n,i}$ - наибольшую из площадей этих треугольников. Требуется найти функцию $s(n) = \inf_{m_n \in M_n} max_{i \in \{1 ... n\}} S_{n,i}$, где $M_n$ - множество выпуклых n-угольниокв. Также интересено что получится если $M_n$ множество произвольных многоугольников.

Очевидно, что ответ - 0

[Норберт]

Исправил условие теперь задча уже не так просто решается.

[Brukvalub]

Норберт в сообщении #173755 писал(а):

Исправил условие теперь задча уже не так просто решается.

Да ладно... Теперь очевидный ответ - $\frac {1} {n-2}$

[Норберт]

ну кому как, мне не очевидно

[вздымщик Цыпа]

Норберт в сообщении #173778 писал(а):

ну кому как, мне не очевидно

Ну да, как надежная нижняя оценка очевидно. А вот предъявить такой многоугольник, чтоб она достигалась что-то не получается даже для $n=5$. В этом случае нужен пятиугольник, который разбивается на три равных по площади треугольника всеми пятью способами.