квадратное уравнение

[1212112]

Коэффициенты b, с квадратного уравнения x*x-bx+c=0 являются степенями двойки. b равно 2 в степени k, с равно 2 в степени m. Найти целые корни уравнения. Найти k, m.

[V.V.]

Заочная олимпиада физтеха?

[1212112]

какого физтеха?
в гимназии на каникулы задали (10 кл)

[Brukvalub]

1212112 в сообщении #173522 писал(а):

Коэффициенты b, с квадратного уравнения x*x-bx+c=0 являются степенями двойки. b равно 2 в степени k, с равно 2 в степени m. Найти целые корни уравнения. Найти k, m.

Корней может и не быть.

[1212112]

в смысле?

[Brukvalub]

\[ x^2 - 2x + 4 = 0 \]

[ShMaxG]

Ну вот я, например, делал так:

Записал первое необходимое условие:

\[ 2k \geqslant m \]

, получил

\[ 2^{2k - 2} - 2^{m - 2} = q^2 \]

, где $q$ - некоторое целое. Затем записал

\[ 2k = m + t \]

и пришел к

\[ 2^{m - 2} \left( {2^t - 1} \right) = q^2 \]

. Потом говорю, что то, что слева - квадрат целого тогда и только тогда, когда и

\[ 2^{m - 2} \]

, и

\[ {2^t - 1} \]

- полные квадраты. После проверок всех $t$ я получил, что в итоге годится лишь $t=0$ и в итоге

\[ 2k = m \]

и

\[ k \geqslant 2 \]

.

[juna]

Какая-то странная формулировка задачи, уводящая при строгом подходе в теорию чисел.
Придется решать уравнение $2^l-1=y^2$, где $l=2k-m-2$
Последнее диофантово уравнение не имеет решений, кроме $l=0,1$.
Для $l\equiv 0\mod 2$ это сделать совсем легко: $(2^{\frac{l}{2}}-1)(2^{\frac{l}{2}}+1)=y^2$. Сомножители в левой части взаимнопросты, значит каждый из них квадрат, т.е.
$2^{\frac{l}{2}}-1=m^2$(1)
$2^{\frac{l}{2}}+1=n^2$ (2)
Вычитая (2)-(1), получаем $n^2-m^2=2$ - невозможно.
Но и в общем случае тоже можно показать, что $2^l-1=y^2$ невозможно.
$2^l-1=2^{l-1}+2^{l-2}+...+2+1=y^2$
В двоичной системе число $2^{l-1}+2^{l-2}+...+2+1$ - это одни единицы, но из них нельзя составить квадрат, кроме уже учтенного $y=1$.

[neeize]

а по подробнее
у меня L=2K-2

[Батороев]

Из теоремы Виета:
$ x_1+x_2 = 2^k $
$ x_1x_2 = 2^m $

$ x_1^2 + 2x_1x_2+ x_2^2 = 2^{2k} $

$ x_1^2+x_2^2 = 2^{2k} - 2^{m+1} $

$ x_1^2+x_2^2 = 2^{m+1}(2^{2k-m-1} - 1) $

$ x_1^2+x_2^2 = 2x_1x_2(2^{2k-m-1} - 1) $

$\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = 2(2^{2k-m-1} - 1) $

Правая часть - целое число, следовательно,
$ x_1 = x_2 $,

тогда
$ 2^{2k-m-1} - 1 = 1 $.

$ m=2(k-1) $;
$ x_{1,2} = 2^{k-1} $.