Функциональное уравнениие

[Профессор Снэйп]

Существуют ли функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, отличные от $f(x) = x^2$, для которых равенство $f(x-1) + f(x+1) = 2x^2 + 2$ выполнено при любых $x \in \mathbb{R}$?

[Gafield]

Много На промежутке $[0,2)$ определяем произвольно, а дальше - из уравнения.

[Профессор Снэйп]

Gafield писал(а):

Много На промежутке $[0,2)$ определяем произвольно, а дальше - из уравнения.

Да, вижу, что много. Причём даже функций из класса $C^\infty(\mathbb{R})$. Полином, конечно, существует единственный, но это не интересно.

А сколько существует выпуклых (вниз) функций с данным свойством?

И ещё тогда вот такая задача. Пусть $A$ --- подмножество $\mathbb{R}$, обладающее следующим свойством:

$$ \forall f \big( (\forall x \in \mathbb{R})(\forall a \in A)(f(x-a)+f(x+a) = 2x^2+2a^2) \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(f(x) = x^2) \big) $$

Что можно сказать про это множество?

[Хорхе]

Профессор Снэйп писал(а):

А сколько существует выпуклых (вниз) функций с данным свойством?

А что мешает решить уравнение для второй производной в положительных функциях?

Добавлено спустя 12 минут 41 секунду:

Профессор Снэйп писал(а):

И ещё тогда вот такая задача. Пусть $A$ --- подмножество $\mathbb{R}$, обладающее следующим свойством:
...
Что можно сказать про это множество?

Мне этот вопрос не кажется особенно интересным. Скажем, мы можем поступить так: $x\sim y$, если $x-y\in 2A$ и продолжить по транзитивности. $A$ обладает желаемым свойством тттк получившееся отношение тривиально. Существует ли более простой критерий? Мне кажется, вряд ли.

[Профессор Снэйп]

Хорхе писал(а):

А что мешает решить уравнение для второй производной в положительных функциях?

Какое уравнение?

Хорхе писал(а):

Мне этот вопрос не кажется особенно интересным.

Это задача на составление задачи. Хочется придумать такое $A$ (и/или попутно ограничить класс рассматриваемых функций), чтобы получилась хорошая, качественная, достаточно коротко и изящно формулируемая задача. Уровня примерно для физматшкольников.

[Хорхе]

Профессор Снэйп писал(а):

Хорхе писал(а):

А что мешает решить уравнение для второй производной в положительных функциях?

Какое уравнение?

Ну, например, вот такое $g(x-1) + g(x+1) = 4$
У него бесконечно много положительных решений.