падение тела с сопротивлением воздуха

[LMZiushka]

помогите решить задачу:
тело массой m падает в воздухе без начальной скорости. Считая сопротивление воздуха

$$ R = \gamma v^2 $$

, определить скорость и координату как функции от времени.

думаю составить лагранжиан, где

$$T = \frac{mv^2}{2}-f(R)$$

не знаю как определить f(R)

спасибо за помощь!

[Someone]

А почему не обойтись вторым законом Ньютона?

[LMZiushka]

потому что интересует решение именно через лагранжиан

вот что нашёл:
если сила является непотенциальной (в данном случае, это похоже что так), то имеем лагранжиан:
$\frac{ d }{ dt }(\frac{ \partial L }{ \partial \dot{q_i}}) - \frac{ \partial L }{ \partial q_i} = 0$

где $L = T - V + U$, T - кин. энерг. V - потен. энерг.

U считается из условия $f = - \frac{ \partial U }{ \partial q_i} + \frac{d}{dt}(\frac{ \partial U}{\partial q_i})$

для конкретной задачи получается:
$\gamma \dot{x}^2 = - \frac{ \partial U }{ \partial x} + \frac{d}{dt}(\frac{ \partial U}{\partial x})$

отсюда, далее нужно найти $U$. Пока что не знаю как это сделать.

[GAA]

LMZiushka писал(а):

U считается из условия $f = - \frac{ \partial U }{ \partial q_i} + \frac{d}{dt}(\frac{ \partial U}{\partial q_i})$

Опечатка. Должно быть: "U считается из условия $f = - \frac{ \partial U }{ \partial q_i} + \frac{d}{dt}(\frac{ \partial U}{\partial \dot q_i})$". Cм., например:
[1] Голдстейн Г. Классическая механика. — М. Наука, 1975; гл. 1 Обзор элементарных принципов, §1.5 Потенциал, зависящий от скорости и потенциальная функция.
[2] Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механики.
[3] Маркеев А.П. Теоретическая механика.
(Все три книги можно скачать с EqWorld.)

[LMZiushka]

спасибо огромное за библиографию по теме!

[Утундрий]

О каком лагранжиане может идти речь, если энергия не сохраняется? Запишите Ньютона и не мучайтесь...

[Danila88]

Утундрий писал(а):

О каком лагранжиане может идти речь, если энергия не сохраняется? Запишите Ньютона и не мучайтесь...

Всё верно, поэтому справа (где стоит ноль) надо поставить обобщённые силы (здесь: сила сопротивления), и в итоге получите 2-закон Ньютона)

(Из у. Эйлера-Лагранжа он непосредственно и "следует")

Someone писал(а):

А почему не обойтись вторым законом Ньютона?

[LMZiushka]

справа таки "обобщённые" силы (не очень понятна разница между обобщёнными и не обобщёнными силами).

получается $L = \frac{m\dot{x}^2}{2} - mgx$

и уравнение:
$m\ddot{x} - mg = -\gamma\dot{x}^2$ (минус потому что направление силы противоположно направлению движения)

решением уравнения есть:
$x(t) = C_2 + \frac{m}{\gamma} ln(csh(\sqrt{\frac{g\gamma}{m}}(t+mC_1)))$

правильный ответ:
$x(t) = \frac{m}{\gamma} ln(csh(\sqrt{\frac{g\gamma}{m}}(t)))$

осталось показать что $C_1, C_2 = 0$.

[Парджеттер]

LMZiushka в сообщении #173570 писал(а):

справа таки "обобщённые" силы (не очень понятна разница между обобщёнными и не обобщёнными силами)

Ну в данном случае ее может быть и нет, но, вообще говоря, обобщенными силами могут быть и моменты и вообще всякая разная бяка.

[LMZiushka]

в данном случае, насколько я понимаю, это $- \gamma \dot{x}^2$

[Someone]

LMZiushka в сообщении #173570 писал(а):

минус потому что направление силы противоположно направлению движения

А как система координат определена? В основном, конечно, координата $x$.

[LMZiushka]

Someone писал(а):

А как система координат определена? В основном, конечно, координата $x$.

сверху вниз, по этому потенциальная энергия $V = mgx$ (положительна). Вот. откуда взялся минус у $\gamma\dot{x}^2$ пока сам понять не могу =(

[Someone]

LMZiushka в сообщении #173629 писал(а):

Вот. откуда взялся минус у $\gamma\dot{x}^2$ пока сам понять не могу

Ну, строго говоря, нужно было бы написать $-\gamma\dot x|\dot x|$. Минус, естественно, потому, что направление силы трения противоположно направлению скорости (предполагаем, естественно, что $\gamma>0$). С $\dot x^2$ так записать не получится.

[Danila88]

LMZiushka писал(а):

осталось показать что $C_1, C_2 = 0$.

Надо применить нач. условия $x_0=x(0)$,$\dot{x}_0=\dot{x}(0) $

[SIMORONCHIK]

Всем Добрый Вечер.
Меня интересует эта же задача (поэтому, я не создаю отдельную тему) , но решённая через второй закон Ньютона.
Результат получился очень грамоздким и меня это, в силу моего небольшого опыта решения таких задач, слегка напрягает.

Вот решение.


Не прошу проверять всё, просто оцените и подскажите, возможно ли такое, и в каком направлени, если это не обходимо, плыть.


С ув. Олег.