Матрицы

[Еленочка]

Помогите доказать АВ-ВА $\neq $ Е (А,В матрицы n порядка. Е единичная матрица)

[PAV]

PAV:

Книги ни посмотреть, ни скачать нельзя. Сформулируйте вопрос более внятно. И измените заголовок сообщения на более узнаваемый и информативный. Иначе придется отправить тему в карантин.

Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться

Добавлено спустя 11 минут 40 секунд:

Что такое E ?

Добавлено спустя 7 минут 21 секунду:

Если E - это единичная матрица, то это утверждение выполнено даже для обычных чисел, т.е. матриц $1\times 1$. Может быть, все-таки в задании имеется в виду нечто другое?

[Еленочка]

Цитата:

Если E - это единичная матрица, то это утверждение выполнено даже для обычных чисел, т.е. матриц $1\times 1$. Может быть, все-таки в задании имеется в виду нечто другое?

Тут наверно нужно методом мат индукции доказать. А как доказать для n порядка, если предположить, что для n-1 верно, а для 1 очевидно

[id]

Возьмите след от левой и правой части "равенства".
$tr AB = tr BA$, хотя, конечно, это нужно бы доказать.

[Еленочка]

id писал(а):

Возьмите след от левой и правой части "равенства".
$tr AB = tr BA$, хотя, конечно, это нужно бы доказать.

Я учусь на первом курсе, и понятие след мы еще не проходили. Может дашь ссылку на какую-нибудь литературу в интернете, чтобы можно было посмотреть или скачать.

[id]

След - это сумма диагональных элементов.

[Еленочка]

А если матрицы равны, их следы равны? (справочник Корн)

[id]

В задачнике Кострикина "Сборник задач по алгебре" это задача ( что $tr AB = tr BA$ ) № 17.20, правда, без решения.

Добавлено спустя 42 секунды:

Если матрицы равны, то их следы равны. След = сумма диагональных элементов матрицы.

[Еленочка]

id писал(а):

Если матрицы равны, то их следы равны. След = сумма диагональных элементов матрицы.

Я не так задала вопрос. У нас получается,что в левой части уравнения след равен 0,а в правой след равен n. Из этого следует, что если следы не равны, то и матрицы не равны? ( я имела в виду это) Если это верно,то можете прислать ссылку на это утверждение для использования в доказательстве.

[id]

Допустим, что $AB - BA = E$.
Тогда $tr (AB - BA) = tr E = n$
$tr (X + Y) = tr X + tr Y$ (докажите) $\Rightarrow$
$tr AB - tr BA = 0 = n$ (противоречие)

[Еленочка]

Матрицы равны,когда все элементы равны. А если след левой части равен 0, то отсюда следует,что на диагонали не стоят 1. Поэтому эта разность не равна единичной матрице. Таких рассуждений достаточно для доказательства?

[id]

Я бы предпочел видеть формулы, тем более, их уже написал. Тут простое рассуждение от противного и получение противоречия. Но по сути верно.

[Еленочка]

Спасибо за формулы (только я их получила, когда к вам отослала сообщение)
А необходимо доказывать, чтоTr(AB-BA) равно 0? ( равенство из Корна стр 394)

Еще раз огромное спасибо за то, что натолкнули на мысль.

[id]

Необходимо или нет известно скорее Вам.
То, что $tr AB = tr BA$ или что то же самое $ tr (AB - BA) = 0$ - еще одна стандартная задача, Вас могут это спросить.

[Cave]

А можно вспомнить про принцип неопределённости Гейзенберга и произвести на свет доказательство без использования следов Только это будет "новогодняя", нестандартная версия, поскольку для матриц - это из пушки по воробьям.