Длина кривой, масса поверхности (Крив. инт. 1 и 2 рода)

[Ворон]

Здравствуйте.

Условие.
Вычислить длину дуги кривой:

$$ \left\{ \begin{array}{l} x = 3t \\ y = 3t^2 \\ z = 2t^3 \end{array} \right. $$

От точки

$$O(0,0,0)$$

до точки $A(3,3,2)$.

Решение.
Кривая задана параметрически. Тогда длина вычисляется по формуле:

$$ \int\limits_{}^{} f(x(t);y(t);z(t)) \sqrt{x_t^2' + y_t^2' + z_t^2' } dt $$

Тогда в нашем случае будет:

$$ \int\limits_{}^{} \sqrt{9 + 36t^2 + 36t^4 } dt = ... $$

И непонятно даже как поставить пределы и как брать такой интеграл

Зарание спасибо за подсказки.

[shwedka]

Выносите девятку, общий множитель, из-под корня и посмотрите на тто, что осталось. Вроде бы, квадрат чего-то простого.

[Ворон]

Спасибо. Действительно:

$$ \int\limits_{}^{} \sqrt{9 + 36t^2 + 36t^4 } dt = 3 \int\limits_{}^{} \sqrt{4t^4 + 4t^2+1} dt = 3 \int\limits_{}^{} (2t^2 + 1) dt = 3\int\limits_{}^{} 2t^2 dt + 3 \int\limits_{}^{}dt = 2t^3 + 3t $$

А что с пределами интегрирования?

[Nilenbert]

Рассмотрите каким значениям параметра соответствуют концы кривой

[shwedka]

Посдмотрите, при каких значениях параметра получаются начальная и конечная точки кривой.

[Ворон]

Тоесть это и будет предел интегрирования?

От 0 до 1.....
Тогда получается, что длина кривой равна 5. Правильно?

Добавлено спустя 2 часа 48 минут 52 секунды:

Ну давайте чтоль следующую.

Условие.
Вычислить массу участка поверхности $z^2 = x^2 + y^2$, ограниченного плоскостями $z = 1, x = 0, y = 0$, если плотность $\gamma(x,y,z) = xy$.

Решение.

$$ m = \int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} \gamma(x,y,z) dS = \int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} xy \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2+y^2} + \frac{y^2}{x^2+y^2}}dxdy = 2\int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} xy dxdy$$

Судя по всему и в декартовых координатах всё прекрасно решается...
Я вот затрудняюсь с рисунком... Как эта поверхность может выглядеть?

[Brukvalub]

Это четвертинка конуса.

[Ворон]

Вроде должно быть вот так... Проверте пожалуйста..

$$ m = 2\int\limits_{0}^{1}y dy \int\limits_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2}$$

[Brukvalub]

Ворон в сообщении #173203 писал(а):

Вроде должно быть вот так... Проверте пожалуйста..

Пределы интегрирования поставлены неверно.

[Ворон]

Если я правильно понял то пределы такаие:

$$ m = 2\int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}y dy \int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} x dx = .....$$

[Brukvalub]

Нет.

[vvvv]

Эта картинка должна вм помочь.Но все-таки,Ворон, неужели
тяжело заглянуть в книгу, ведь здесь пересказывать учебники никто Вам не будет.

[Ворон]

Спасибо, картинка помогла )
Спишем это на посленовогодний тупняк

Вообщем я предпринял попытки решения двумя способами:

$$ m = 2\int\limits_{0}^{1}y dy \int\limits_{0}^{\sqrt{1-y^2}} x dx = \frac{1}{4}$$

$$ m = 2\int\limits_{0}^{\pi /2}\cos \varphi \sin \varphi d \varphi \int\limits_{0}^{1} r^3 dr = \frac{1}{4}$$

Вот както так. В обоих случаях ответ получился одинаковый....
А Вы не моглибы проверить, пожалуйста, предыдущую задачу на правильность?

[GAA]

В первой у меня получился ответ 5.
Во второй задаче непонятно как получилась цифра 2.

[Ворон]

Действительно, там получиться $\sqrt{2}$....

Тогда ответ:

$$ m = \frac{\sqrt{2}}{4} $$

Большое Спасибо.