Замкнутые операторы

[id]

Пусть $X,Y$ - нормированные пространства, $A: (Dom A \subset X) \to Y$ - линейный оператор, не обязательно непрерывный.

По определению $A$ - замкнут $\Leftrightarrow$ $G(A) = \{(x,A(x)):x \in Dom A\}$ замкнуто в топологии произведения $X \times Y$.

Тут меня и заинтересовало, как такое определение будет соотноситься с определением замкнутого отображения $f$, где требуется, чтобы просто $Im f$ было замкнутым.

А вот в обратную сторону...
Предположим, что $Dom A, Im A$ замкнуты.
$\{y_n \to y, y_n \in Im A\} \Rightarrow \{y \in Im A\}$
Нужно было бы показать, что $\{(x_n,A(x_n)) \to (x,y), x_n \in Dom A\} \Rightarrow \{(x,y) \in G(A)\}$.
$x_n \to x, Dom A$ замкнуто $\Rightarrow x \in Dom A$
$A(x_n) \to y, Im A$ замкнуто $\Rightarrow y \in Im A$.
Но ведь отсюда без непрерывности $A$ вроде бы не следует, что $A(x) = y$?

И, если действительно исходное определение замкнутого оператора неравносильно замкнутости $Dom A, Im A$, какой можно придумать контрпример такого оператора (заведомо разрывного)?

[Brukvalub]

В Банаховых и подобных им пространствах замкнутость графика равносильна непрерывности, см., например, http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%BA%D0%BD%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BC_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B5

[id]

Brukvalub
Да, собственно, поэтому наверно мой вопрос и несколько несущественен.
Интересовало просто, нельзя ли общее определение несколько "упростить".

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

В общем, судя по всему нет.

Спасибо!

Добавлено спустя 27 минут 23 секунды:

И еще один вопрос - следует ли из замкнутости $G(A)$ (где A точно так же линейный оператор) замкнутость $Im A$? ( в случае просто функции $f$, даже непрерывной, ответ довольно прост и отрицателен ).

[ewert]

Не следует: замкнутость образа более-менее влечёт за собой непрерывность обратного, что с замкнутостью графика никак не связано.

-----------------------------------------------------------------
Да, а насчёт контрпримеров -- вот классический. Оператор $A={d^2\over dx^2}-I$ (где $I$ -- единичный), действующий в гильбертовом пространстве $L_2(-\infty;+\infty)$. Он симметричен и, следовательно, допускает замыкание (собственно, он замкнут и самосопряжён на соболевском $W_2^2(-\infty;+\infty)$). Его область определения, естественно, не замкнута (т.к. сам по себе он неограничен). В то же время его образ (после замыкания) будет замкнут. И связано это как раз с тем, что оператор $\left({d^2\over dx^2}-I\right)^{-1}$ ограничен, т.е. непрерывен: его норма не превосходит (а фактически равна) единице, т.к. оператор двукратного дифференцирования отрицателен.

[id]

Эмм... А более формально как это выражается?

[ewert]

А формально (если я правильно понял вопрос) -- примерно так. Если оператор ограничен и его область определения замкнута, то этот оператор автоматически замкнут. (А если область определения не замкнута, то замыкание оператора сводится к его продолжению по непрерывности на замыкание области определения). Замкнутость -- понятие симметричное, т.е. замкнутость прямого оператора равносильна замкнутости обратного (если тот существует). И в то же время из ограниченности прямого вовсе не следует ограниченность обратного (см. пред. пример).

[id]

Хм...
То есть ответ получается в обе стороны отрицательный - из замкнутости $G(A)$ совсем не следует замкнутость $Im A$, а из замкнутости $Im A$ не следует замкнутость $G(A)$, даже если $Dom A$ тоже замкнуто.