Наглядность математики

[Gortaur]

Основная проблема собственно, в сабже.

При изучении математики лично мне легче понять чем заучить (я думаю, я далеко не одинок). В моем образовании мне повезло практически со всемит предметами - например, мне прекрасно понятен анализ, алгебра, ТФКП - их аксиоматика и вводимые понятия было легко принять. Они выглядели не лишними и органичными.

С другой стороны, с теорвером и ТСП везение было не на нашей стороне. Вводной в них была теория меры и интеграла длительностью в полгода. Остальные два года не менялось ничего кроме:
1. мера всего пространства стала равна 1
2. появились независимые величины

И ни одного наглядного примера. Шарики и разноцветные носки не считаются.

Сейчас я читаю ТСП и у меня есть несколько вопросов:
1. какой смысл имеет условное мат. ожидание, и не может ли получиться что оно довольно-таки часто не имеет смысла?
2. каким образом $\sigma$-алгебры, порожденные сл. величинами могут различаться, и на что это влияет?

[--mS--]

Могу свой взгляд на УМО изложить, но вариантов тут много.
Условное математическое ожидание имеет очень наглядный смысл, если величины из $L_2$, т.е. второй момент у них конечен. В таком случае УМО $\mathsf E(\xi \bigm| \eta)=\mathsf E(\xi \bigm| \sigma(\eta))$ есть просто ортогональная проекция в $L_2$ случайной величины $\xi$ на линейной пространство случайных величин, измеримых относительно $\eta$, т.е. являющихся борелевскими функциями от $\eta$.

Ортогональная проекция - в том смысле, что среди всех величин вида $g(\eta)$, где $g$ - борелевская, выбирается такая $\zeta$, которая минимизирует $\mathsf E(\xi - \zeta)^2$. Или, что то же самое, для которой разность $\xi-\zeta$ ортогональна всему пространству $\eta$-измеримых случайных величин: $\mathsf E((\xi-\zeta)\cdot g(\eta))=0$.

Понятно, что такая случайная величина $\zeta$ определяется неоднозначно: вместе с ней УМО будет любая иная, совпадающая с ней с вероятностью 1.

Если берётся УМО изначально по некоторой сигма-алгебре, то представлять его можно так же: любую сигма-алгебру можно считать "порождением" некоторой с.в.

По второму вопросу - надо сначала набить руку в нахождении сигма-алгебр, порождённых разными с.в. Потом всё будет понятно.
Ну, скажем: пусть вероятностное пространство - единичный отрезок с борелевской сигма-алгеброй и мерой Лебега в качестве вероятности. Вот с.в. $\xi(\omega)=\omega$ и

$$\eta(\omega)=\begin{cases}0, & \omega\in[0,\frac12), \cr 1, &\omega\in[\frac12,1]\end{cases}$$

.

Посмотрите, какие они порождают сигма-алгебры.

З.Ы. А почему тема в этом разделе?

[Gortaur]

Отлично, так яснее. Но второй вопрос остается открытым: например последовательность нормальных сл. величин различным МО. Порожденные ими алгебры совпадают же? Но при этом в броуноском движении активно используются возрастающие последовательности алгебр.

Тему согласен перенести в любой другой раздел.
Помимо ТСП здесь еще и заключен вопрос в наглядности математики в общем.

[--mS--]

Теперь понятно существо вопроса. Не обязательно совпадают - зависит от вероятностного пространства.
Ну, например, нормально распределённую с.в. можно задать на прямой как тождественное отображение, взяв в качестве меры интеграл от плотности.
Тогда две независимых с.в. удобно задать на декартовом произведении двух прямых с мерой, порождённой мерами на прямых.
В этом случае сигма-алгебра, порождённая первой с.в., будет состоять из "вертикальных полос" $B\times \mathbb R$, где $B$ - борелевское множество на горизонтальной оси. А сигма-алгебра, порождённая второй с.в., будет состоять из таких же "горизонтальных полос" $\mathbb R\times B$, где $B$ - борелевское множество на вертикальной оси. А вот сигма-алгебра, порождённая парой, будет борелевской в $\mathbb R^2$.

Добавлено спустя 7 минут 29 секунд:

Грубо можно сказать так: если случайная величина $\eta$ измерима относительно $\sigma$-алгебры, порождённой $\xi_1$, то она постоянна на событиях $\{\xi_1=x_1\}$. Если измерима относительно $\sigma$-алгебры, порождённой $\xi_2$, то она постоянна на событиях $\{\xi_2=x_2\}$. Но не всегда постоянство на первом наборе событий влечёт постоянство на втором: например, $\xi_2$ может не быть постоянной на событии $\{\xi_1=x_1\}$, как в примере с декартовым произведением выше.

[Gortaur]

Спасибо, так гораздо лучше. Насколько я понимаю, при тождественном отображении с мерой равной интегралу по плотности с одного и того же множества (например, $\mathbb{R}$), мы получим совпадающие сигма-алгебры (если величины распределены нормально).

Например:
$B_t(\omega)$ - одномерное броуновское движение. Тогда $B_t(\omega)$ нормальная при любом фиксированном $t$. Почему бы не предположить, что $\Omega = \mathbb{R}$, ведь в таком случае $\sigma(B_t) = \sigma(B_s)$ для любых $t$ и $s$.

[--mS--]

Если $\Omega=\mathbb R$, это действительно будет так. Но вывод про $\Omega=\mathbb R$ совершенно ниоткуда не следует. Более того, это явно невозможно, т.к. противоречит независимости приращений: независимость двух с.в. есть независимость порождённых ими сигма-алгебр. А если они порождают одну и ту же сигма-алгебру, то для независимости от себя она должна быть тривиальной (т.к. мера у нас не вырожденная).
То есть вероятностное пространство, на котором задано броуновское движение, поневоле должно быть более сложным, чем $\mathbb R$.

[Gortaur]

Браво,
4. почему Вы не вели у меня ТСП?

5. насколько я понимаю, если совпадают сигма-алгебры, порожденные двумя величинами, про них лишь можно сказать, что их связывает борелевская функция g?

[--mS--]

Наверное, потому, что я ни бельмеса не понимаю в ТСП Да и далековато от Новосибирска до Волгограда

Да, конечно: если одна случайная величина измерима относительно сигма-алгебры, порождённой другой, то первая с.в. есть некоторая борелевская функция от второй. И наоборот.

[Gortaur]

То есть $\Omega$ в случае борелевского процесса явно не $\mathbb{R}^n$.

Другой вопрос:

6. как независимость приращений влечет независимость самих $B_t(\omega)$ и $B_s(\omega)$?

И еще:
7. как были введены характеристический функции и для чего? они просто упрощают операции над сл. величинами?

[--mS--]

6. Никак не влечёт, более того: если $B_t(\omega)$ и (при $s>t$) $\Delta=B_s(\omega)-B_t(\omega)$ независимы, то $B_t(\omega)$ и $B_s(\omega)=B_t(\omega)+\Delta$ необходимо зависимы.

7. Ну, про характеристические функции можно поэму писать . У них есть масса замечательных свойств, которые целиком оправдывают их введение. Например, то, что х.ф. суммы есть просто произведение х.ф. (а функция распределения суммы - куда как более сложная свёртка ф.р., с которой в общем виде работать почти нельзя). Или, например, то, что слабая сходимость распределений (свойство, во многих случаях непроверяемое напрямую) равносильна поточечной сходимости х.ф., что вместе с возможностью разлагать их в ряд Тейлора по моментам даёт практически универсальное средство доказательства предельных теорем. Ну и много, много ещё приятного есть в х.ф.

[Gortaur]

Таким образом, если величины $\Delta = B_s(\omega)-B_t(\omega)$ независимы, то $B_s$ и $B_t$ необходимо зависимы. Я не могу понять, каким образом тогда случай $\Omega=\mathbb{R}$ противоречит независимости приращений.

[--mS--]

Очевидным: если сигма-алгебры, порождённые независимыми с.в. $B_t(\omega)$ и $\Delta=B_s(\omega)-B_t(\omega)$, совпадают, то для любого множества $A$ из этих сигма-алгебр $\mathsf P(A)=\mathsf P^2(A)$, т.е. $\mathsf P(A)\equiv 0 \vee 1$, что невозможно.

Поправлено 31.12:
О-о-пс, мой ответ не на тот вопрос. На вопрос "противоречит ли независимость приращений тому, что $\Omega=\mathbb R$", я ответа не знаю - скорее всего, нет. Множетсво $\mathbb R$ мне кажется достаточно богатым, чтобы на нём задавать целый СП
Раньше мы исходили из того, что если случайные величины задаются тождественным отображением, то сигма-алгебры, порождённые ими, суть борелевские на $\mathbb R$, и вот это уже противоречит независимости приращений.

[Gortaur]

От и я о том же.

Другой тогда вопрос:
8. зачем вводится понятие измеримости, в каких случаях оно ключевое? Связано ли оно с независимостью?

[--mS--]

Измеримости чего относительно чего? Если речь идёт про измеримость случайных величин относительно исходной сигма-алгебры, так без этой измеримости распределение не существует - вероятность есть функция элементов сигма-алгебры, так что прообраз любого приличного множества поневоле должен принадлежать сигма-алгебре.

А если речь об измеримости одной с.в. относительно сигма-алгебры, порождённой другой, то это способ описать функциональную зависимость: $\xi$ измерима относительно $\sigma(\eta)$ тогда и т.т., когда существует борелевская функция $g$ такая, что $\xi=g(\eta)$.

С независимостью измеримость не очень связана: независимость случайных величин равносильна независимости порождённых ими сигма-алгебр (т.е. независимости любых элементов этих сигма-алгебр). Можно за уши притянуть, конечно, независимость к измеримости, описав порождённую случайной величиной сигма-алгебру как наименьшую сигма-алгебру, относительно которой эта с.в. измерима. Но реально независимость скорее есть свойство меры, чем свойство множеств.