Как минимизировать число множителей при нулевой сумме?

[gipokrat]

Рассмотрим натуральное число $n$. Обозначим через $a(n)$ минимальное число $k\geqslant 1$, для которого существуют ненулевые целые числа

$$ x_1,x_2,\ldots,x_k\in\mathbb Z\setminus\{0\} $$

такие, что

$$ x_1x_2\cdots x_k=n $$

и

$$ x_1+x_2+\cdots+x_k=0. $$

Пустое произведение не разрешается.

Например,

$$ 6=(-1)\cdot(-2)\cdot3, $$

причём

$$ (-1)+(-2)+3=0, $$

поэтому

$$ a(6)=3. $$

Для $n=1,2,\ldots,30$ у меня получилась такая последовательность:

$$ 4,3,6,4,8,3,10,5,4,5,14,3,16,7,6,3,20,5,22,3,8,11,26,4,4,13,6,5,32,3. $$

(В OEIS я этой последовательности не нашёл, хотя не исключаю, что она там есть в другой форме.)

То есть

$$ \begin{aligned} &a(1)=4,\quad a(2)=3,\quad a(3)=6,\quad a(4)=4,\quad a(5)=8,\\ &a(6)=3,\quad a(7)=10,\quad a(8)=5,\quad a(9)=4,\quad a(10)=5,\\ &a(11)=14,\quad a(12)=3,\quad a(13)=16,\quad a(14)=7,\quad a(15)=6,\\ &a(16)=3,\quad a(17)=20,\quad a(18)=5,\quad a(19)=22,\quad a(20)=3,\\ &a(21)=8,\quad a(22)=11,\quad a(23)=26,\quad a(24)=4,\quad a(25)=4,\\ &a(26)=13,\quad a(27)=6,\quad a(28)=5,\quad a(29)=32,\quad a(30)=3. \end{aligned} $$

Пытаюсь найти общее описание функции $a(n)$: формулу, рекурсию, алгоритм или хотя бы разумную характеризацию через разложения числа $n$ на множители.

Например, для нечётного простого $p$, похоже, получается

$$ a(p)=p+3. $$

Действительно, можно взять

$$ p=\underbrace{(-1)\cdot(-1)\cdots(-1)}_{p+1\text{ раз}}\cdot1\cdot p, $$

и сумма множителей равна

$$ -(p+1)+1+p=0. $$

Также трёх множителей достаточно тогда, когда

$$ n=xy(x+y) $$

для некоторых натуральных $x,y$, поскольку тогда

$$ n=(-x)(-y)(x+y) $$

и

$$ (-x)+(-y)+(x+y)=0. $$

Можно ли получить общее описание функции $a(n)$?

[mac]

Ваша функция по сути основана на структуре разложения на простые множители. Можно написать частные правила:
$p$, $p > 2$ $\Rightarrow$ $p + 3$
$2p$, $p > 2$ $\Rightarrow$ $p$
$pq$, $p, q > 2$, $p <= q$ $\Rightarrow$ $q - p + 4$
$2pp$, $p> 2$ $\Rightarrow$ 5
$2pq$, $p > 2$, $q=p+2$ $\Rightarrow$ 3
...

К сожалению, наличие общей формулы выглядит столь же маловероятно, как общая формула для простых чисел. Но это не точно )

[gris]

Энциклопедии не очень нравятся отрицательные числа. Я попробовал немного ослабить условие: пусть произведение натуралов равно $n$ и существует их нулевая линейная комбинация с коэффициентами $1;-1$. То есть подойдут $1=-1\cdot 1; 2=-1\cdot-1\cdot2; 3=-1\cdot-1\cdot-1\cdot3; 4=-2\cdot2$. Ну почти, как у ТС. Но последовательности $2,3,4,2,6,3,8,3,2,5...$ тоже нету:( Что ещё можно придумать?