Дифур

[abacaba]

Есть дифур:
$(\sqrt{y^6+x^4}+x^2)y'=\frac{2}{3}xy$
Он квазиоднородный, заменой $z=y^2/x^3$ приводится к виду
$(\sqrt{z^3x^5+1}+1)(z'x+2z)=\frac{2}{3}z$
А вот что дальше - непонятно...

[Someone]

Чего-то напутали Вы с подстановкой. Обычно подстановка имеет вид $y=zx^k$ или $y=z|x|^k$ (в зависимости от $k$). А $k$ подбирается из условия равенства степеней членов уравнения, предполагая, что $x$ имеет степень $1$, $y$ - степень $k$, $y'$ - степень $k-1$. Получается не то, что Вы написали.

P.S. Формулы пишете неправильно, модератор придерётся. Формулы нужно окружать знаками доллара, а тег math вставляется автоматически (кроме случаев, когда формула разбита на несколько строк).

[abacaba]

Ну хорошо, тогда используем подстановку $z=\frac{y}{x^{2/3}}$.
Получаем: $(\sqrt{z^6+1}+1)z'x^{4/3}+\frac{2}{3}z\sqrt{z^6+1}$.
Все равно не очень понятно, что с этим делать...

[Someone]

А где уравнение-то? Да и то, что написано, как-то странно выглядит.
А что делать, хорошо известно. Из обобщённого однородного уравнения после такой подстановки всегда получается уравнение с разделяющимися переменными.

[abacaba]

Ну, во-первых, имелось в виду $(\sqrt{z^6+1}+1)z'x^{4/3}+\frac{2}{3}z\sqrt{z^6+1}=0$.
Во-вторых... черт, переменные действительно разделяются. Надо срочно спать ложиться, если уж я этого не заметил. Но сначала надо дорешать )
Так, после разделения получается $\frac{\sqrt{z^6+1}+1}{\frac{2}{3}z\sqrt{z^6+1}}dz=-\frac{dx}{x^{4/3}}$
Ммм... как бы левую часть проинтегрировать?

[Someone]

У Вас там $x$ в неправильной степени.
А проинтегрировать левую часть легко: делите почленно числитель на знаменатель (постаравшись не запутаться в многоэтажных дробях). Одно слагаемое интегрируется сразу, другое - после простой замены переменной.