О кривых с постоянными кривизиной и кручением.

[pan555]

Доброго времени суток всем!
Хочу поставить следующий вопрос.
Известно, что кривые вполне определяются заданием кривизиной и кручением - но не до положения в пространстве.
Если взять класс кривых с постоянными кривизиной и кручением,то это 3 вида кривых :
1.Прямая
2.Окружность
3.Обыкновенная цилиндрическая винтовая линия.
Если мы решим поставить задачу определить эти кривые точно в пространстве, то :
1.Для прямой достаточно задать 2 точки.
2.Для окружности достаточно задать 3 точки, которые лежат в вершинах треугольника не нулевой площади.
3. Для обыкновенной цилиндрической винтовой линии вносится следующее предподожение :
Для определения этой кривой в пространстве достаточно указать 4 точки, которые лежат в вершинах пирамиды не нулевого объема.
Можно ли доказать или опровергнуть это утверждение ?
(Мне не удалось ни то,ни другое.)

[lel0lel]

pan555 в сообщении #1723569 писал(а):

Для определения этой кривой в пространстве достаточно указать 4 точки, которые лежат в вершинах пирамиды не нулевого объема.

Не выглядит правдоподобно. Для начала нам потребуется определить вектор направления оси и какую-нибудь точку на оси винтовой линии. Для этого будем рассматривать нашу пирамидку с различных направлений. Другими словами, проектируем все четыре вершины на некоторую произвольно выбранную плоскость и смотрим -- попали проекции вершин на одну окружность или нет. Если попали, то нормаль к данной плоскости, возможно, но необязательно, задаёт направление оси винтовой линии. Необязательно потому, что будут и другие плоскости, на которые проекции ложатся так, что можно будет описать окружность. В принципе, можно радиус и центр этих окружностей определять, а потом, если все четыре проекции различные, определять шаг (тут нужно немного подумать, так как он не всегда определяется однозначно). Но главная проблема уже вырисовывается: если есть пирамидка, то она вписана в некоторую сферу. А если расставить на сфере четыре точки и рассматривать её под разными углами, то найдется множество положений, при которых, при данном угле зрения, все четыре точки лежат на одной окружности. Самое простое -- это две вершины проектируются в одну точку, и проекция пирамиды выглядит как треугольник, а около него всегда можно описать окружность. Поэтому стоит начать с подсчёта "степеней свободы" винтовой линии общего положения, их не четыре.

[dgwuqtj]

lel0lel в сообщении #1723609 писал(а):

Поэтому стоит начать с подсчёта "степеней свободы" винтовой линии общего положения, их не четыре.

У прямой $4$ степени свободы, у окружности $6$, у винтовой линии $7$: ось даёт $4$ степени свободы, знак кручения — $0$, радиус и шаг — по одной, и все винтовые линии с этими параметрами отличаются на сдвиг по оси (или поворот вокруг оси).

Каждая точка на кривой в общем положении фиксирует $2$ степени свободы, так что из-за чётности будет проблема. Ну и через $4$ точки в общем положении винтовая линия не пройдёт.

-- добавлено через 26 минут --

Вообще есть статья на эту тему.

[lel0lel]

dgwuqtj Спасибо, интересно. Из статьи я не совсем понял про четыре точки общего положения. Пусть мы их заведомо выбираем на какой-то конкретной спирали. Будет ли для них данная спираль единственной с точностью до сдвига? В статье говорят о счётном (возможно пустом, если выбирать их не обязательно на винтовой линии) множестве цилиндров, на которых располагаются эти точки. Можно вроде бы сказать, что спиралей будет не более чем счётное множество. Но ведь не каждый цилиндр приводит к появлению спирали. Например, две или три точки лежат в плоскости радиального сечения, тогда спираль для этого цилиндра не получится. Не будет ли условие на шаг и радиус отбирать один единственный цилиндр? Или, как раз подсчёт степеней свободы, которых 7, отвечает на этот вопрос -- если есть четыре точки (вершины невырожденной пирамиды), и они всё же попали на некоторую спираль, то других неподобных спиралей нет?

Выяснилось, что в общем случае однозначности нет.

[lel0lel]

Обсуждалось ранее на форуме: https://dxdy.ru/topic77029-15.html#p778491
По поводу однозначности там есть хороший пример участника bot, в котором на цилиндр наматываются две нити с разным шагом.

[pan555]

dgwuqtj в сообщении #1723616 писал(а):

lel0lel в сообщении #1723609 писал(а):

Поэтому стоит начать с подсчёта "степеней свободы" винтовой линии общего положения, их не четыре.

У прямой $4$ степени свободы, у окружности $6$, у винтовой линии $7$: ось даёт $4$ степени свободы, знак кручения — $0$, радиус и шаг — по одной, и все винтовые линии с этими параметрами отличаются на сдвиг по оси (или поворот вокруг оси).

Каждая точка на кривой в общем положении фиксирует $2$ степени свободы, так что из-за чётности будет проблема. Ну и через $4$ точки в общем положении винтовая линия не пройдёт.

-- добавлено через 26 минут --

Вообще есть статья на эту тему.

Итого, для четного счёта, у винтовой линии 8 степеней свободы.
Итак.
Прямая имеет 4 степени свободы, определяется прямая 2 точками однозначно.
Это доказывается.
Есть алгоритм получения прямой по 2м точкам.
У окружности 6 степеней свободы, определяется окружность 3 точками (в вершинах треугольника не нулевого объема) однознано .
Это доказывается.
Есть алгоритм получения окружности по 3м точкам.
А теперь предположения.
У цилиндрической винтовой линии 8 степеней свободы-предположение.
Определяется 4 точками (в вершинах пирамиды не нулевого объма) - предположение.
Как доказать ? (Или опровергнуть)
А если можно доказать ,то как получить алгоритм
получения уравнения цилиндрической винтовой линии по 4м (с указанными ограничениями) точкам ?
Проблемы тут следующие :
1.Уравнения цилиндрической винтовой линии в общем виде наиболее удобно выражаются в параметрическом виде - и это осложняет задачу.
(Попробуйте такую же задачу с прямой,заданной параметрически - убедитесь)
2.Попытки задать цилиндрическую винтовую линию в общем случае в непараметрическом виде привели к очень сложным выражениям, с которыми я справится не смог.
Кто либо может дать конкретеые советы по работе с этой задачей ?

[pan555]

Добавление.

Известно, из дифференциальной геометрии, что любые кривые определяются с точностью до движений указанием зависимости их кривизин (в 3-хмерном случае это кривизина и кручение) от параметра (при параметрическом их описании) и тем самым позволяют дать их уравнения.
Для рассматриваемого случая с постоянными кривизинами уравнение будет иметь следующий вид :
$ d^4x/dt^4+k^2*d^2x/dt^2=0$
$ d^4y/dt^4+k^2*d^2xly/dt^2=0$
$ d^4z/dt^4+k^2*d^2z/dt^2=0$

Правильно ли я понял и правильный ли я сделал вывод ?

[lel0lel]

pan555 в сообщении #1724081 писал(а):

А теперь предположения.
У цилиндрической винтовой линии 8 степеней свободы-предположение.

Выше ведь обсуждали, что их семь, а также ссылка на статью и более раннюю тему имеется.

pan555 в сообщении #1724081 писал(а):

Определяется 4 точками (в вершинах пирамиды не нулевого объма) - предположение.
Как доказать ? (Или опровергнуть)

И это обсуждали. Четыре точки могут не определять ни одной линии, или задавать счётное число. Возьмём правильный тетраэдр, задаёт ли он единственную винтовую линию?

pan555 в сообщении #1724081 писал(а):

А если можно доказать ,то как получить алгоритм
получения уравнения цилиндрической винтовой линии по 4м (с указанными ограничениями) точкам ?

Посмотрите статью, которую привёл dgwuqtj. Там это обсуждают.

pan555 в сообщении #1724094 писал(а):

Правильно ли я понял и правильный ли я сделал вывод ?

По-моему, Вы вывод забыли изложить.