Верхняя оценка модуля ζ-функции Римана на критической прямой

[Droog_Andrey]

$$\big|\zeta\big(\frac12+2\pi i t\big)\big|<e^{\sqrt{\log_2 t}}\text{ при } t > 1$$

Выполняется для всех известных точек, описываемых последовательностью A117536 (надо будет добавить туда новые члены, полученные из базы LMFDB), а также точек, полученных в этой работе. При этом оценку вряд ли можно улучшить, т.е. двойка в основании логарифма стоит неспроста. Доказать истинность оценки для всех $t > 1$ - сверхсложная задача, однако эвристика говорит о том, что сконструировать контрпример, по-видимому, также не получится.

Продолжение следует...

[makxsiq]

На первый взгляд, можно немного улучшить.

[Droog_Andrey]

makxsiq, проверьте окрестности $t=8701224737287972,552$ или $t = 56670472212045696,995$.

[makxsiq]

С козырей зашли. Ну я немного скорректировал первоначальный вариант.

[Droog_Andrey]

makxsiq, это то же самое, что заменить двойку в основании логарифма чуть большим числом. Но есть теоретические основания полагать, что эта константа таки равна двум.

[makxsiq]

Droog_Andrey в сообщении #1721760 писал(а):

$t=8701224737287972,552$ или $t = 56670472212045696,995$.

С другой стороны, при указанных $t$

$$\dfrac{|\zeta(\cdot)|}{e^{\sqrt{\log_2 t}}} \approx 0.75$$

и не похоже чтобы эта доля увеличивалась с ростом $t$.

[Droog_Andrey]

makxsiq, оценка делается не по двум точкам :)

[makxsiq]

Сложно что-то возразить с практической точки зрения.

[makxsiq]

makxsiq в сообщении #1721842 писал(а):

Сложно что-то возразить с практической точки зрения.

Попробую пояснить этот тезис.
Рассмотрим предложенную мной уточненную оценку для $|\zeta(\cdot)|$ при $t>1$, а именно

$$|\zeta(\dfrac{1}{2}+2\pi i t)|<e^{\sqrt{0.999 \log_2(t)}}$$

Эта оценка выполняется для указанных вами
$t=8701224737287972,552$ и $t=56670472212045696,995$,
как и для прочих экстремумов из таблицы из Chapter 5 в файле по вашей ссылке.
Кстати, значения $|\zeta(\cdot)|$ для указанных первых двух экстремумов за несколько минут можно проверить в бесплатном гуглоколабе.

Droog_Andrey
можете опровергнуть предложенную мной формулу?

[Droog_Andrey]

makxsiq, я уже отвечал выше.

[makxsiq]

(Оффтоп)

https://m.youtube.com/watch?v=AuwclNFGKv0&t=413s