Разложение элементов векторного пространства(?)

[mkot]

Имеют место следующие факты:
(1) Любую матрицу $A$ можно представить в виде суммы симметичной и кососимметричной:

$$A=S+H, \text{где } S^T = S, H^T = -H$$

.
В самом деле, $S = \frac12(A+A^T)$, $H = \frac12(A-A^T)$.

(2) Любую функцию $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ можно представить в виде суммы
чётной и нечётной функций:

$$f=g+h, \text{где } g(-x) = g(x), h(-x) = -h(x)$$

.
В самом деле, $g(x) = \frac12(f(x)+f(-x))$, $h(x) = \frac12(f(x)-f(-x))$.

(3) Любое комплексное число $z$ можно представить как сумму вещественного и чисто мнимого чисел,

$$z=x+y, \text{где } \overline{x} = x, \overline{y} = -y$$

.
В самом деле, $x = \frac12(z+\overline{z})$, $h(x) = \frac12(z-\overline{z})$.

Думается, что все эти факты являются частными случаями некоторого более общего известного утверждения. Подскажите какого.

Можно конечно придумать что-то подобное самому:
Пусть $V$ -- векторное пространство над полем вещественных чисел, ${}^*\colon V \to V $
такое, что $(\alpha A + \beta B)^* = \alpha A^* + \beta B^*$ и $A^{**} = A$,
тогда любой $X \in V$ представляется в виде $X = A + B$, где $A^* = A$, $B^* = -B$.
Доказательство: $A = \frac12(X+X^*)$, $B = \frac12(X-X^*)$.

Но всё-таки...

И ещё: подскажите ещё какие-нибудь утверждения подобные (1)--(3).

[TOTAL]

Любую матрицу единственным способом моджно представить в виде суммы матрицы, у которой на черных клетках стоят нули, и матрицы, у которой на белых клетках стоят нули.

[Brukvalub]

quote="mkot в сообщении #170716"]И ещё: подскажите ещё какие-нибудь утверждения подобные (1)--(3).[/quote]
Например, пространство билинейных функционалов над векторным пространством есть прямая сумма своих подпространств симметрических и кососимметрических билинейных функционалов.
Наверное, здесь можно развить какой-либо общий разговор о наличии такого рода разложений в произвольных алгебрах с инволюцией, но есть ли в этом глубокий смысл?...

TOTAL в сообщении #170718 писал(а):

Любую матрицу единственным способом моджно представить в виде суммы матрицы, у которой на черных клетках стоят нули, и матрицы, у которой на белых клетках стоят нули.

А разве у матриц есть черные и белые клетки?
Вы, TOTAL не путаете матрицу с песней Любэ:

Любэ

Клетки

Не люблю я точные науки
Точно сам не знаю почему
Сшей мне, мама, клетчатые брюки
А я в них по улице пойду
Сшей мне мама брюки помоднее
Чтобы клетки были повидней ей ей ей

Припев (2 раза):
Клетки, клетки, клетки,
Как в метрополитене вагонетки,
Клетки, клетки, клетки,
Вы словно шоколадные конфетки!
.....

[TOTAL]

Brukvalub писал(а):

Вы, TOTAL не путаете матрицу с песней Любэ:

Brukvalub по нескольким темам запел песни, что наводит на мысль, что он и есть один из братьев, продавших бедных овец, и хорошо отметивших продажу.

[Brukvalub]

TOTAL в сообщении #170763 писал(а):

Brukvalub по нескольким темам запел песни, что наводит на мысль, что он и есть один из братьев, продавших бедных овец, и хорошо отметивших продажу.

А почему Вы не празднуете? Разве в Нов-ске Хэппи Нью Е еще не наступил?
Или я на недельку ошибся?

[mkot]

Brukvalub писал(а):

Например, пространство билинейных функционалов над векторным пространством есть прямая сумма своих подпространств симметрических и кососимметрических билинейных функционалов.

Спасибо за пример.

Brukvalub писал(а):

Наверное, здесь можно развить какой-либо общий разговор о наличии такого рода разложений в произвольных алгебрах с инволюцией, но есть ли в этом глубокий смысл?...

Может и нет смысла. Просто было интересно :).