Простой квазилинейный дифур и з.Коши. Нужна помощь.

[Meredian]

День добрый, помогите с несложным дифуром. Вообще говоря я знаю как их решать-то, но задача Коши (именно такая) все никак не хочет решаться, все время разваливаясь. Собственно, я уже почти все решил, только итог какой-то странный.. Ошибку может покажете..? )

Задача Коши выглядит следующим образом:
$\frac {\partial u} {\partial t} - u\frac {\partial u} {\partial x}=0; u(x,0)=x^2 $

Опущу некоторые шаги, в общем - находим интегральный базис:
$\varphi _1 = u$
$\varphi _2 = ut+x$
(Здесь ошибки точно быть не может, эти же значения дают справочники)

Из з.Коши находим получаем следующее выражение в неявном виде для u: $u = (ut+x)^2$

Начинаем разворачивать, решая квадратное уравнение относительно u:
$u^2t^2+u(2xt-1)+x^2=0$
$u_{1,2}=\frac{1-2xt\pm\sqrt{(2xt-1)^2-4t^2x^2}}{2t^2}$
$u_{1,2}=\frac{1-2xt\pm\sqrt{4x^2t^2-4xt+1-4t^2x^2}}{2t^2}$
$u_{1,2}=\frac{1-2xt\pm\sqrt{1-4xt}}{2t^2}$
Здесь получаются два решения, но одно из них нас совсем неудовлетворяет (при t=0 получаем предел равный бесконечности), второе дает неопределенность, но над ним надо поработать напильником. Домножим и разделим на сопряженное

$u=(\frac{1-2xt-\sqrt{1-4xt}}{2t^2})(\frac{1-2xt+\sqrt{1-4xt}}{1-2xt+\sqrt{1-4xt}})$
$u=\frac{1-4xt+4x^2t^2-1+4xt}{2t^2(1-2xt+\sqrt{1-4xt})}$
$u=\frac{2x^2}{(1-2xt+\sqrt{1-4xt})}$

И вот, вроде бы, оно - решение, и задаче Коши удовлетворяет... Все классно, но есть одна проблема... Это НЕ решение Т.к. потом берем, подставляем его в исходное уравнение, и ниччерта не сходится, производная по t выглядит неплохо, а вот по х - совсем мрачно, и никак не собирается сокращаться с чем бы то ни было...
Помоги разобраться, пожалуйста,надо до пятницы. Я уже ко всем, к кому только мог, пристал, ошибки не понимаю совсем..

[V.V.]

А у меня сокращается...

[Meredian]

Действительно... Лечиться пора уж.