Кубы и квадраты

[mihaild]

Я это и написал (с точностью до замены $x - 1$ на $k$).

dick в сообщении #1691939 писал(а):

$(A_1k^3-A_2(k-1)^3+A_3(k-2)^3+A_4)-(B_1_1k^3-B_2(k-1)^3+B_3(k-2)^3+B_4)=(C_1k^3-C_2(k-1)^3+C_3(k-2)^3+C_4)$

Это же равенство чисел, а не многочленов. Из него ничего интересного не следует.

dick в сообщении #1691939 писал(а):

Либо, $A_1-B_1=C_1+D_1; A_2-B_2=C_2-D_2; A_3-B_3=C_3+D_3; A_4-B_4=C_4+D_4$;

Что такое $D_i$?

dick в сообщении #1691939 писал(а):

Что одно и тоже.

Что и что "одно и то же"?

[dick]

Вы же оспариваете требование: $A_1-B_1=C_1, A_2-B_2=C_2, A_3-B_3=C_3, A_4-B_4=C_4$
Вот я и показал Ваш вариант с некими произвольными числами $D_1, D_2. D_3, D_4$ добавлением которых получаются другие коэффициенты обеспечивающие (2). Но если такие числа и имеются, их сумма, в сочетании с кубами, которым они принадлежат, будет нулем. То есть вернемся к тому что Вы оспариваете. Потому и написал "одно и тоже". Иными словами любые возможные варианты приводятся к тому, что я указал.

[Mikhail_K]

dick
Таким образом, Вы рассуждаете так. Пусть $A_1-B_1$ - это не $C_1$, как Вы первоначально утверждали, а $C_1+D_1$ с некоторым вообще говоря ненулевым $D_1$. Аналогично для индексов $2$, $3$, $4$. Исходя из этого, Вы получаете равенство, связывающее $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$. Хорошо. И что дальше?

Если Вы согласны, что эти $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$ могут быть ненулевыми, то напишите всё рассуждение с ними.

[mihaild]

dick в сообщении #1691939 писал(а):

Либо, $A_1-B_1=C_1+D_1; A_2-B_2=C_2-D_2; A_3-B_3=C_3+D_3; A_4-B_4=C_4+D_4$;

Хорошо, это определение $D_i$.

dick в сообщении #1691939 писал(а):

тогда: $D_1k^3-D_2(k-1)^3+D_3(k-2)^3+D_4=0$

Согласен (если там знаки все правильные, не перепроверял, но допустим).
Что дальше?

[dick]

Если Вы согласны, что я вправе требовать выполнения

dick в сообщении #1691944 писал(а):

$A_1-B_1=C_1, A_2-B_2=C_2, A_3-B_3=C_3, A_4-B_4=C_4$

Читайте дальше.

[mihaild]

dick в сообщении #1691970 писал(а):

Если Вы согласны, что я вправе требовать выполнения

Ну хоть на сколько-то следите за контекстом. С чем я согласен написано прямо строчкой выше.

[Mikhail_K]

dick в сообщении #1691970 писал(а):

Если Вы согласны, что я вправе требовать выполнения

Не согласен. Вы вправе требовать $A_1-B_1=C_1+D_1$ и т.д., где

dick в сообщении #1691939 писал(а):

$D_1k^3-D_2(k-1)^3+D_3(k-2)^3+D_4=0$.

Нам тут не видно, что это "одно и то же". Если Ваше рассуждение работает с этими $D$, то и напишите его до конца с этими $D$. Предположения же $A_i-B_i=C_i$, $1\leq i\leq 4$ - безосновательны.

[dick]

Оставим препирательства о равенстве в частях и после некоторых правок получим:
Предположим, что для трех натуральных, взаимно простых чисел $x, y, z$ выполняется: $x^3=z^3-y^3$ (1);
Любой куб натурального числа больше 3, может быть разложен в сумму, с использованием трех меньших соседних натуральных кубов и свободного члена:
$x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6$ (2);
$y^3=3(y-1)^3-3(y-2)^3+(y-3)^3+6$;
$z^3=3(z-1)^3-3(z-2)^3+(z-3)^3+6$;
Если кубы слева достаточно велики ($4^3$ и более), кубы разложения можно сдвигать вниз, оставаясь в множестве натуральных. Например так:
$x^3=3(3(x-2)^3-3(x-3)^3+(x-4)^3+6)-3(x-2)^3+(x-3)^3+6=$
$=6(x-2)^3-8(x-3)^3+3(x-4)^3+24$ (2.1) и т.д.
Или так:
$4^3=3(3^3)-3(2^3)+(1^3)+6$
$5^3=6(3^3)-8(2^3)+3(1^3)+24$
$6^3=10(3^3)-15(2^3)+6(1^3)+60$ (2.2) и т.д., до достижения слева
значений $x^3, y^3, z^3$
Слегка расширенная табличка коэффициентов:
3 3 1 6
6 8 3 24
10 15 6 60
15 24 10 120
21 35 15 210
28 48 21 336 и т.д.
Рассматривая коэффициенты свободного члена, можно заметить, что выполняется:
$C_4=(C_1-C_3)С_2$ (5.1); а также
$C_2=(C_1-C_3)^2-1$ (5.2);
Где $C_1, C_2, C_3, C_4$ - коэффициенты разложения $x^3$.
Из (5.1), (5.2) следует:
$C_4=(C_1-C_3)((C_1-C_3)^2-1)=$
$=((C_1-C_3)-1)(C_1-C_3)((C_1-C_3)+1)$ (5.3);
Таким образом, все коэффициенты свободного члена являются произведением трех соседних натуральных чисел, следующих без пропусков строго в порядке возрастания, начиная с единицы. А меньший член тройки является порядковым номером строки коэффициентов.
Очевидно, что найдутся такие кубы $X^3, Y^3, Z^3$, для которых будет выполняться:
$X^3=C_1k^3-C_2(k-1)^3+C_3(k-2)^3+(x-1)x(x+1)$ (6);
$Y^3=B_1k^3-B_2(k-1)^3+B_3(k-2)^3+(y-1)y(y+1)$
$Z^3=A_1k^3-A_2(k-1)^3+A_3(k-2)^3+(z-1)z(z+1)$
Где $x, y, z$ являются гипотетическими решениями (1).
Тогда можно, для выяснения условий выполнения (1) записать:
$(z^3-z)-(y^3-y)=(x^3-x)$ (7);
$z^3-y^3-x^3=z-y-x$ (7.1);
Поскольку (7.1) в натуральных числах невозможно, (1) также невозможно.

[mihaild]

dick в сообщении #1692497 писал(а):

Рассматривая коэффициенты свободного члена, можно заметить, что

что такое $C_i$ нигде не написано, соответственно, ничего про него заметить нельзя.

dick в сообщении #1692497 писал(а):

$(z^3-z)-(y^3-y)=(x^3-x)$ (7);

Откуда это вообще взялось и как связано с предыдущим?

[dick]

Что касается коэффициентов $C_i$, то о них, также как о коэффициентах $A_i, B_i$, кажется достаточно сказано.
Еще раз: это коэффициенты кубов и свободного члена в разложении $x^3, y^3, z^3$, являющихся решением (1);

Что касается (7.1), то тут я поспешил, навесив на него требование (1).

[dick]

Mikhail_K
Почему Вы считаете, что можно требовать $A_i-B_i≠C_i$, но нельзя требовать $A_i-B_i=C_i$ ?
Выходит вариант $A_i-B_i=C_i$, должен быть исключен ?

-- 11.07.2025, 10:34 --

Mikhail_K
Почему Вы считаете, что можно требовать $A_i-B_i$ не равно $C_i$, но нельзя требовать $A_i-B_i=C_i$ ?
Выходит, вариант $A_i-B_i=C_i$, исключен ? Почему ?

[Mikhail_K]

dick
Ни то ни другое нельзя требовать без доказательства. Но когда Вы пишете $A_i-B_i=C_i+D_i$, то Вы охватываете этим оба случая: если $D_i=0$, то $A_i-B_i=C_i$, а если $D_i\neq 0$, то $A_i-B_i\neq C_i$. Фактически, Вы здесь вообще ничего не требуете, а просто определяете новую величину $D_i=A_i-B_i-C_i$. Конечно, это можно делать.

P.S. "Не равно" пишется \neq . LaTeX позволяет написать любую математическую формулу, надо только погуглить, как именно.

-- 11.07.2025, 23:57 --

Mikhail_K в сообщении #1693966 писал(а):

Выходит, вариант $A_i-B_i=C_i$, исключен ? Почему ?

Не исключён, но и $A_i-B_i\neq C_i$ тоже не исключено.

[dick]

Хорошо, оба варианта возможны. Но если мы, опираясь на один из вариантов, докажем выполнение (1), то опираясь на другой вариант, получим тот же результат. Это справедливо и в отношении опровержения равенства (1).

[mihaild]

dick в сообщении #1694154 писал(а):

Но если мы, опираясь на один из вариантов, докажем выполнение (1), то опираясь на другой вариант, получим тот же результат

С чего бы это?

[dick]

В противном случае, возникнет противоречие в вопросе выполнения (1).