Матрица Грама в псевдоевклидовом пространстве

[Утундрий]

Матрица Грама системы векторов не вырождена тогда, и только тогда, когда эта система линейно независима.

Почему-то постоянно буксую на этом месте. То мне кажется, что всё полностью аналогично евклидову случаю, то вдруг сомнения обуревают. В итоге я сочинил обходной путь, изгоняя из системы изотропные векторы и ортонормируя то, что останется. В результате всех этих обратимых манипуляций получается явно не вырожденная матрица Грама, что и доказывает утверждение.

Однако, можно ли проще?

[Slav-27]

Утундрий в сообщении #1690143 писал(а):

Матрица Грама системы векторов не вырождена тогда, и только тогда, когда эта система линейно независима.

Это неверно: у системы из одного изотропного вектора нулевая матрица Грама. Если количество векторов равно размерности, то это верно: функция $\det_{ij}g(u_i,v_j)$ зависит линейно и кососимметрично от каждой из систем векторов $u_1,...,u_n$ и $v_1,...,v_n$, поэтому она зависит только от $u_1\wedge...\wedge u_n$ и $v_1\wedge...\wedge v_n$.

[Утундрий]

Slav-27 в сообщении #1690147 писал(а):

Это неверно: у системы из одного изотропного вектора нулевая матрица Грама.

Хорошо, будем считать, что векторов в рассматриваемой л/н системе более одного.

Slav-27 в сообщении #1690147 писал(а):

Если количество векторов равно размерности

Чего? Всего пространства? Вообще-то, не хотелось бы ограничиваться этим частным случаем.

Slav-27 в сообщении #1690147 писал(а):

функция $\det_{ij}g(u_i,v_j)$ зависит линейно и кососимметрично от каждой из систем векторов $u_1,...,u_n$ и $v_1,...,v_n$, поэтому она зависит только от $u_1\wedge...\wedge u_n$ и $v_1\wedge...\wedge v_n$.

Можете расшифровать обозначение?

[Slav-27]

Утундрий в сообщении #1690148 писал(а):

Чего? Всего пространства? Вообще-то, не хотелось бы ограничиваться этим частным случаем.

Да, всего пространства. Если векторов меньше, то утверждение неверно.

Утундрий в сообщении #1690148 писал(а):

Можете расшифровать обозначение?

Рассматриваем конечномерное вещественное векторное пространство $V$ с псевдоевклидовой билинейной формой $g$; $n$ -- размерность $V$. $u_i$ и $v_i$ ($i=1,...,n$) -- элементы $V$. Написанный в моём сообщении определитель -- это определитель матрицы $n\times n$, у которой в $i$-й строке и в $j$-м столбце число $g(u_i,v_j)$. $u_1\wedge...\wedge u_n$ -- внешнее произведение векторов, элемент $\bigwedge^nV$.

[Padawan]

Утундрий
Матрицу Грама векторов $a_1,\ldots,a_n$ если записать в матричном виде, то получится $\Gamma=A^{\top}GA$, где $G$ -- матрица квадратичной формы в фиксированном базисе, $A$ -- матрица, столбцы которой есть координаты векторов в этом базисе. Тогда определитель $|\Gamma|=|A|^2|G|=0$ тогда и только тогда, когда $|A|= 0$ ( при условии невырожденности квадратичной формы, т. е. $|G|\neq0$)

[dgwuqtj]

В качестве примера можно взять набор векторов $(e_0 + e_1, e_2, e_3)$ в стандартном четырёхмерном псевдоевклидовом пространстве.

[Утундрий]

Мда. Любопытное у меня было слепое пятно.

dgwuqtj в сообщении #1690162 писал(а):

можно взять набор векторов $(e_0 + e_1, e_2, e_3)$ в стандартном четырёхмерном псевдоевклидовом пространстве.

Хватит и $(e_0 + e_1, e_2)$. Матрица Грама вырождена, хотя система векторов очевидно л/н.

То есть, возня по удалению изотропных векторов — не кривая дорожка, а суровая необходимость.

Всем спасибо за обсуждение.