задача по функциональному анализу

[mesh]

Найти норму оператора Фредгольма T:L_2(0,пи)--->L_2(0,пи), заданного правилом
Тх(t)=интеграл от 0 до пи (K(t,s)x(s)ds),

где sin(t)*cos(s), t<=s
K(t,s)=
sin(s)*cos(t),s<=t


Указание: если Т=Т*, то ||Т||=r(T).

[ewert]

Ядро оператора $T$ имеет вид:

$$K(t,s)=\begin{cases} \varphi_-(t)\cdot\varphi_+(s)\quad\text{при}\ t\leqslant s,\\ \varphi_+(t)\cdot\varphi_-(s)\quad\text{при}\ t\geqslant s, \end{cases}$$

где $\varphi_-(t)=\sin t$ и $\varphi_+(t)=\cos t$ -- решения дифференциального уравнения $-\varphi''-\varphi=0$, удовлетворяющие, соответственно, граничным условиям $\varphi_-(0)=0$ и $\varphi'_+(\pi)=0$. Т.е. попросту $T=\left(-{d^2\over dx^2}-I\right)^{-1}$, где для оператора двукратного дифференцирования поставлены указанные граничные условия на отрезке $[0;\;\pi]$.
Ну, собственные числа и функции соответствующей задачи Штурма-Лиувилля

$$\begin{cases} -\varphi''=\lambda\,\varphi,\\ \varphi(0)=0,\ \ \ \varphi'(\pi)=0 \end{cases}$$

прекрасно известны:

$$\varphi_k(t)=\sin\left(x\left(k+{1\over2}\right)\right), \qquad \lambda_k=\left(k+{1\over2}\right)^2, \qquad k=0,1,2,3,\,\ldots $$

Соответственно, норма исходного опеератора:

$$\Vert T\Vert=\left|\left({1\over2}\right)^2-1\right|^{-1}={4\over 3}.$$

[mesh]

спасибо!