По равномерно непрерывную функцию

[Nival]

Проверить является ли функция
y=
{ x*sin(1/x), если x принадлежит (0,1]
{ 0, x=0
равномерно непрерывной

я делал так :
ясно что при стремлении к бесконечности у нас функция будет стремится к единице
через кванторы описание НЕравномерной непрерывности выглядит так:
существует епсилон больший нуля E>0 такой что для любого дельта d=d(E) будет выполнятся
|x1 - x2|<d будет влечь за собой |F(x1)-F(x2)|>E
возьмем
последовательность x1 и x2 энных с бесконечно большимим номерами такими что
при n->бесконечности |x1-x2|<d влечет за собой |F(x1)-F(x2)|<E но так как при н стремящимся к бесконечности у нас F(x1) = F(x2) = 1 то их абсолютная разность равна нулю что противоречит определению равномерно непрерывной где абсолютная разность значений должна быть меньше эпсилона, в свою очередь большего нуля . Но как это доказать на Интервале [0,1]???? и я сомневаюсь в правильности всего вышеизложенного

[id]

Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нем.

$[0,1]$ -компакт.
$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = x \sin \frac 1 x, x \in (0,1]\\ f(x) = 0, x=0 \end{array} \right. $
- непрерывна на [0,1].

[Nival]

я имел ввиду не две разные f(X) a одну

[color=blue][size=9]Добавлено спустя 6 минут 21 секунду:[/size][/color]

и всеравно как доказать что она непрерывна на компакте просто по определению?
что абсолютная разность аргументов меньшая дельта влечет за собой абсолютную разность значений функции в этих аргументах меньшее эпсилон?

[id]

Nival
Для всех точек, кроме $0$ - по теореме о непреывности отношениях непрерывных функций, если "нижняя" не обращается в 0.
Для $0$ - опять же, произведение бесконечно малой и ограниченной функции - бесконечно малая.

[Nival]

можно поподробнее для нуля ? что является бесконечно малой ноль чтоли не понял я

[AD]

Nival в сообщении #168849 писал(а):

что является бесконечно малой ноль чтоли не понял я

$x$.

[ewert]

Nival в сообщении #168849 писал(а):

можно поподробнее для нуля ? что является бесконечно малой ноль чтоли не понял я

да не надо никаких бесконечно малых. По определению: функция непрерывна в нуле, если $\exists\mathop{\lim}\limits_{x\to 0}f(x)=f(0).$ При этом $f(0)=0$ просто по определению $f$, и с существованием и нахождением предела тоже всё вполне очевидно.