AD писал(а):
Не понятно. Почему не может быть так, что, скажем,

делится на

,

- на

,

, а третий длиннющий сомножитель - на

?
Для понимания уйдите от букв. Возьмите вместо p, k, n - числа 5, 7, 11. И все поймете. Допустим, что
Разберитесь, почему

не может содержать ни 5, ни 7 ни в какой степенях, кроме как в 11.
Добавлено спустя 4 минуты 28 секунд:
Или еще проще, почему
То

и

обязательно будут 11-степенью чисел. Решите это уравнение и все поймете
Добавлено спустя 4 минуты 8 секунд:
Доказательство того, что полином также взаимнопрост с основанием

также существует и длинно.(Можно найти в работах С.Жермен и многих др.авторов). Приводить не стану. Просто поверьте. Единственным исключением является кратность y числу n, которая рассматривается в п.1 и для дальнейшего рассуждения не имеет решающего значения.
Добавлено спустя 8 минут 20 секунд:
Кстати, bot, подкину вам интересную идейку. Для любых k докажите, что:
Например,
И более общий случай:

, если n - простое, 2n + 1 - также простое.
Добавлено спустя 8 минут 33 секунды:
Замечательность данного утверждения в том, что с помощью него можно доказать теорему Ферма для всех простых n таких, что

также простое. Если использовать данное свойство, то сразу вытекает делимость одного из чисел в уравнении Ферма на

. После чего легко доказывается невозможность