Доказательство неразрешимости уравнения:

n-простое (1)
1. Из чисел

хотя бы два не делятся на n.
2. Допустим ни

, и ни

не делятся на

. Тогда т.к. n-простое, для уравнения (1) справедливы разложения:

(2)

(3)

(4)
где множители в правых частях (2), (3) и (4) – взаимно простые числа.
3. Для уравнения (4) справедливо также разложение:

(5)
где множители в правой части также – взаимно простые числа.
4. Тогда уравнение (5) можно представить:

(6)
5. Учитывая, что:

(7)
6. Тогда попарно складывая первые два уравнения системы (7):

(8)
7. Учитывая, что

– также решение уравнения (1), получим:

(9)
Обозначим:

(10)
Тогда для (9) справедливо:

(11)
8. Т.к. левая часть (11) делится на

, то и правая часть (11) делится на

.
9. Если в уравнении (9) множители

и

разной четности, то в силу соотношения (10) p и q будут также разной четности, при этом:
10. Но тогда, учитывая п.8 т.к. p – нечетно, то в правой части (11)

делится на 2 в той же степени, что и

. Т.к. все остальные множители правой части содержат q в еще большей степени. Но это невозможно, т.к. p – нечетно.
Таким образом, ни в системе (8), ни в уравнении (9) числа

и

не могут быть разной четности.