Вероятность возникновения тупоугольного треугольника

[Лукомор]

Alex1976 в сообщении #204835 писал(а):

Почти угадали, примерно 0,64 ( 0.5*pi/(1,(3)*pi - sqrt(3)).

А я не угадывал, я считал по методу предложенному PAV:

PAV в сообщении #204749 писал(а):

Давайте разберемся. Сначала рассмотрим второй способ построения, при котором точка бросается в область. Без ограничения общности будем считать, что две исходные точки расположены на координатной плоскости как $(0,0)$ и $(0,1)$. Тогда получается, что третью точку предлагается бросать в область, равную пересечению кругов с центрами в этих двух точках и имеющих радиус 1.

При этом $P=(2\pi/3-\pi/4)/(2\pi/3)=0.625$ Точно.

Добавлено спустя 25 минут 20 секунд:

Alex1976 писал(а):

Только вопрос не в том, чтобы посчитать, а в объяснении, почему одно число меньше другого.

Потому что Вы задали два разных дополнительных условия.
Соответственно получили две разных условных вероятности.

Alex1976 писал(а):

Как вариант - какой способ "больше похож" на "случайный треугольник на плоскости".

Больше похож вот этот:

gris писал(а):

Поскольку линейные размеры для нас не существены, опишем треугольник двумя углами $A$ и $B$.
Рассмотрим квадрат в системе координат $AOB$. Каждая точка квадрата под отрезком $A+B=180$ (диагональю), будет соответствовать одному треугольнику.
Тупоугольные треугольники будут соответствовать неравенствам $A>90,\quad B>90,\quad A+B>90$. Области, определяемые неравенствами, будут занимать $\frac34$ площади треугольника.

[Alex1976]

PAV писал(а):

Хорошо, а можете Вы объяснить для начала, "почему" если $X$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0,1]$, то распределение $X^2$ на том же отрезке будет уже не равномерным?

Вот обсуждение и скатилось до хамства.

Раз уж Вы сами модератор, прошу либо тему закрыть, либо от хамства воздерживаться.

[PAV]

Не вижу никакого хамства. Я не понимаю, какого ответа Вы ждете. Поясните на указанном мной примере, как объяснять, "почему" при некотором преобразовании равномерное распределение переходит в неравномерное? Потому что формулы такие.

На самом деле мой пример по сути очень близок к приведенному. В нем преобразование происходит с переменным коэффициентом, поэтому области равной площади переходят в области неравной площади, поэтому и равномерность теряется. С треугольниками то же самое.

Впрочем, своим последним постом вы производите на меня впечатление не вполне адекватного человека, поэтому я дальше здесь ничего обсуждать не собираюсь. Счастливо оставаться, разбирайтесь со своими вопросами сами.

[Мат]

Alex1976
А разве обе точки не будут лежать на прямой $[0; 1]$?

[Лукомор]

Лукомор в сообщении #204991 писал(а):

Alex1976 писал(а):

Как вариант - какой способ "больше похож" на "случайный треугольник на плоскости".

Есть еще способ построить "случайный треугольник на плоскости".
Кидаем на плоскость три случайных точки.
Поскольку через три точки можно всегда провести окружность, то выбираем окружность единичного радиуса, на окружность кидаем три случайные точки и соединяем их прямыми.
Получаем "случайный треугольник на плоскости".
Вероятность того, что он тупоугольный: $P=3/4$.

[wrest]

Alex1976 в сообщении #204835 писал(а):

Почти угадали, примерно 0,64 ( 0.5*pi/(1,(3)*pi - sqrt(3)).

Этот ответ $P=\dfrac{\pi/2}{\frac43 \pi - \sqrt{3}}$ (и решение) даёт Л.Кэррол в книжке "Полуночные задачи", задача 58.
Формулировка там такая "На бесконечной плоскости случайным образом выбраны три точки. Найти вероятность того, что они являюся вершинами тупоугольного треугольника." Решение предлагается геометрическое: счтаем что три точки уже откуда-то взялись, выбираем самую длинную сторону, как на диаметре строим круг, затем строим ещё два круга радиусом равным стороне с центрами на концах (их пересечение -- гмт третьей точки) и считаем площади где при третьей точке угол будет тупым (малый круг) и не тупым (пересечение больших кругов за вычетом малого).

А вот если перебирать треугольники со "случайными углами", получив их угловые меры как длины трёх отрезков образованных разбиением единичного отрезка (ну или отрезка длиной 180) двумя независимыми случайными (равномерно распределенными по отрезку) точками, то вероятность выходит

gris в сообщении #204747 писал(а):

$$\frac34$$

Лукомор в сообщении #205266 писал(а):

Вероятность того, что он тупоугольный: $P=3/4$.

Вопрос "какая часть от всех возможных треугольников является тупоугольными" остается открытым

[wrest]

Изучение темы показывает, что "правильный" подход (он не один но результат один) такой, что за случайный треугольник мы берем такой, у которого шесть координатных компонент на плоскости (по две на вершину) распределены нормально. Тогда доля тупоугольных треугольников будет 3/4 от всех.
Этот же результат даёт и подход с равномерно распределенными углами.
И он же -- равномерно распределенные точки по полусфере.

В общем, задачка Кэррола нашла не один отголосок в научных статьях! Интетесно.
Пара статей:

S. Portnoy A Lewis Carroll Pillow Problem: Probability of an Obtuse Triangle
Statistical Science 1994, Vol. 9, No, 2, 279-284

A.Edelman Random Triangle Theory with Geometry and Applications
Alan Edelman and Gilbert Strang ∗ September 27, 2014 10:27

[мат-ламер]

wrest в сообщении #1681813 писал(а):

Изучение темы показывает, что "правильный" подход (он не один но результат один) такой, что за случайный треугольник мы берем такой, у которого шесть координатных компонент на плоскости (по две на вершину) распределены нормально.

wrest
А в чём тут прелесть именно нормального распределения? Почему бы не взять равномерное с фиксированной стороной куба (результат вроде от неё не зависит). Мне кажется, что это будет более естественно для ответа в загадке Кэрролла. А он большой мастер в составлении загадок и парадоксов.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1681874 писал(а):

А в чём тут прелесть именно нормального распределения?

Дело не в том прелесть или нет. Вместо нормального подходит другое симметричное (Эдельман пишет "сферически-симметричное"). Гляньте вторую статью (Эдельмана), там вообще соображения иные.

мат-ламер в сообщении #1681874 писал(а):

для ответа в загадке Кэрролла. А он большой мастер в составлении загадок и парадоксов.

У Кэррола есть существенная проблема в рассуждениях. Он берет три точки как уже данные, берет самую длинную сторону, потом считает что третья точка распределена равномерно и геометрически вычисляеь вероятность. Но если бы он брал не самую длинную, а среднюю по длине сторону, то такое же точно вычисление (по подходу) дало бы другой результат. Об этом подробней у Портного. Собственно об этом тут тема -- вроде подходя с разных сторон, мы должны приходить к одному результату, ан нет. Об этом в том числе есть и у Эдельмана.

[мат-ламер]

wrest в сообщении #1681877 писал(а):

Собственно об этом тут тема

Если брать стартовый пост - то по умолчанию вроде используется равномерное распределение. Поэтому проблема там - нарисовать исходную фигуру и выделить в ней подфигуру, которая соответствует тупоугольному треугольнику. Ну, и найти отношения площадей фигур.

[Gagarin1968]

мат-ламер в сообщении #1681884 писал(а):

Если брать стартовый пост - то по умолчанию вроде используется равномерное распределение

Не вроде и не по умолчанию, а прямо задаётся условием:

Alex1976 в сообщении #204607 писал(а):

Пусть х и y независимы и равномерно распределены на [0,1]