2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на соленоид
Сообщение01.04.2025, 17:49 


15/11/24
38
Изображение
На рисунке условие и решение задачи из пособия Иродова "Основные законы электромагнетизма"
В прошлой своей теме я уточнял, что в теореме о циркуляции магнитного поля по контуру важен именно ток, а не его проекция (проекции линейной плотности) на площадку, которая натянута на контур.
Тут же именно раскладывают ток на две составляющие. Можно ли тут так делать ? Почему использовать просто модуль тока $i$ будет ошибкой ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на соленоид
Сообщение01.04.2025, 22:15 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
Извините, но похоже, что Вы всё-таки не поняли как следует объяснений в той теме. Попробуйте вернуться к основам - ещё раз внимательно обдумайте вычисление выражения $\int_S \,\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}.$

(Напоминания:)

Жирными буквами обозначаются векторы. $d\mathbf{S}$ это тоже вектор. Точка между векторами означает скалярное произведение (бывает, для краткости эту точку не пишут, но тогда она подразумевается):

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=A\,B\,\cos\alpha,$

где: $\alpha$ - угол между векторами $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B},$

$A=|\mathbf{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}\,,$
$B=|\mathbf{B}|=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}\,.$

$S$ у знака интеграла означает ориентированную поверхность, $d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS$ - вектор элемента площади $dS$ на этой поверхности, $\mathbf{n}$ - единичный вектор нормали этого элемента площади (нормаль это перпендикуляр к элементу площади). Слово "единичный" здесь означает, что $\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}=1.$

Заданную поверхность $S$ можно представлять себе в виде "мозаики", составленной из бесконечно малых элементов площади $dS,$ из которых торчат их векторы нормалей $\mathbf{n}.$ Из каждого элемента площади торчит ещё и вектор $\mathbf{j},$ картина таких векторов это векторное поле $\mathbf{j},$ рассматриваемое на поверхности $S.$

Локально, в месте расположения каждого элемента площади мы вычисляем скалярные произведения $$\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}=\mathbf{j}\cdot\mathbf{n}\,dS = j\,\cos\alpha\,dS\,, $$ где $\alpha$ - угол между векторами $\mathbf{j}$ и $\mathbf{n}$ в данном месте. И суммируем получившиеся числа по всем элементам, т.е. по всей заданной поверхности $S.$ Эта сумма и есть $\int_S \,\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}.$

Разберём простейшие примеры. Пусть поверхность $S$ - плоская. Тогда все векторы $\mathbf{n}$ одинаково направлены, не изменяются от элемента к элементу. Пусть поле $\mathbf{j}$ - однородное, т.е. векторы $\mathbf{j}$ не изменяются от точки к точке в пространстве. Тогда $\mathbf{j}\cdot\mathbf{n}$ есть постоянная величина, можно её вынести из под знака интеграла; оставшийся интеграл равен просто площади $S$ заданной поверхности. Т.е. в таких частных случаях имеем: $$\int_S \,\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}=(\mathbf{j}\cdot\mathbf{n})\int_SdS=(\mathbf{j}\cdot\mathbf{n})\,S.$$

Упражнение:

Дано (в соответствующих физических единицах измерения, но для краткости единицы измерения не выписываю): во всей рассматриваемой области 3-мерного пространства $j_x=0,$ $j_y=3,$ $j_z=4,$ Найти $\int_S \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}$ для плоской поверхности в виде прямоугольника, если у этого прямоугольника:

а) нормаль - вдоль оси $x,$ длины сторон: $\Delta y=2,$ $\Delta z=1;$
б) нормаль - вдоль оси $y,$ длины сторон: $\Delta x=6,$ $\Delta z=5;$
в) нормаль - вдоль оси $z,$ длины сторон: $\Delta x=1,$ $\Delta y=2;$

Когда справитесь с этим, можно будет разобрать простые примеры с неоднородным полем $\mathbf{j},$ в том числе с проводом конечного сечения из предыдущей темы и с лентой из данной темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на соленоид
Сообщение01.04.2025, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7294
tupoy_vopros в сообщении #1680612 писал(а):
В прошлой своей теме я уточнял, что в теореме о циркуляции магнитного поля по контуру важен именно ток, а не его проекция (проекции линейной плотности) на площадку, которая натянута на контур.

Если у вас контур охватывает соленоид, то через этот контур течёт только та составляющая тока, которая течёт вдоль соленоида. Та составляющая, которая описывает круги и не перемещается вдоль соленоида, через контур не проходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на соленоид
Сообщение02.04.2025, 08:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7294
tupoy_vopros в сообщении #1680612 писал(а):
В прошлой своей теме я уточнял, что в теореме о циркуляции магнитного поля по контуру важен именно ток, а не его проекция (проекции линейной плотности) на площадку, которая натянута на контур.

В прошлой теме у вас был вектор тока, который либо проходит через наш контур целиком, либо нет. Смотрите там в конце аналогию с струёй воды и ведром. В этой теме у нас вектор плотности тока образует векторное поле. И оно не обязано целиком проходить через контур. Смотрите в прошлой теме аналогию с дождём и ведром воды. Тут мы вычисляем поток векторного поля через поверхность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на соленоид
Сообщение02.04.2025, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7294
мат-ламер в сообщении #1680702 писал(а):
В прошлой теме у вас был вектор тока, который либо проходит через наш контур целиком, либо нет. Смотрите там в конце аналогию с струёй воды и ведром.

Более внимательно посмотрел прошлую тему. И что-то я засомневался в том, о чём там написано. Вектор тока - это для начала вектор. И если есть кусок поверхности, то речь может идти о потоке вектора через эту поверхность, которая вычисляется через понятно какой интеграл от скалярного произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на соленоид
Сообщение02.04.2025, 10:43 
Заслуженный участник


28/12/12
7992
мат-ламер в сообщении #1680710 писал(а):
Вектор тока - это для начала вектор.

Нет в природе вектора тока. Ток - скаляр.
Есть вектор плотности тока.
В прошлой теме все это хорошо написано, а вы зачем-то опять взялись вводить людей в заблуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на соленоид
Сообщение02.04.2025, 13:19 


15/11/24
38
Cos(x-pi/2)
a)0
b)$ 3\cdot6\cdot5 = 90 $
c)$ 4\cdot1\cdot2 = 8 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на соленоид
Сообщение02.04.2025, 14:24 


15/11/24
38
Разобрался
циркуляция прямоугольника, обхватывающего поверхность соленоида равна $B l$, и она равна $I$
В тоже время $I = i_{perp}l = I h $
Собственно $l$ зависит от угла. И $B$ зависит от угла. В целом циркуляция постоянна и противоречия нет.
Собственно это amon и писал касательно площади

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на соленоид
Сообщение02.04.2025, 18:29 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
tupoy_vopros
Ответы правильные. (Пожелание: лучше сначала писать решения "в буквах", т.е. в виде выражений, и только в самом конце подставлять в них числовые значения букв. Тогда будет видно, как получаются ответы и почему они разные (или одинаковые) в разных задачках. Если Вы так и делаете в своих вычислениях, то хорошо.)

Вижу, Вы уже разобрались, пока я подготавливал следующее упражнение. Ну, тогда пусть оно тут останется на всякий случай; если Вам оно не надо, то и не делайте его.

(Следующее упражнение:)

Дано: теперь векторное поле $\mathbf{j}$ пусть равно нулю в каждой точке пространства вне провода с прямоугольным поперечным сечением. Размеры поперечного сечения провода: $a=3,$ $b=2$ (в единицах длины). Внутри провода векторное поле $\mathbf{j}$ отлично от нуля: пусть там в каждой точке мы имеем $j_x=0,$ $j_y=3,$ $j_z=4$ (в единицах плотности тока).

Провод длинный, но на рисунках ниже для простоты изображены только кусочки этого провода. Показаны три варианта пересечения провода воображаемой плоской прямоугольной поверхностью $S,$ её граничный контур АBCD окружает провод. Найти $\int_S\, \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}$ в случаях:

а) поверхность $S$ перпендикулярна к $\mathbf{j}$ в проводе; её нормаль направлена вдоль $\mathbf{j}:$

Изображение


б) нормаль $\mathbf{n}$ поверхности $S$ направлена вдоль оси $z,$ т.е. $n_x=n_y=0,$ $n_z=1:$

Изображение


в) нормаль $\mathbf{n}$ поверхности $S$ направлена вдоль оси $y,$ т.е. $n_x=n_z=0,$ $n_y=1:$

Изображение


Добавил 04.04.2025 для полноты:

(Заключительное упражнение)

Представим себе следующую картину. Пусть такое же ненулевое векторное поле $\mathbf{j},$ как в проводе из примера выше, было задано внутри большой пластины толщиной $a,$ и эту пластину изогнули (вместе с векторным полем $\mathbf{j}$ в ней) так, что получилась труба с толщиной стенки $a.$ Часть этой трубы схематично показана ниже на рисунках.

Толщину трубы $a$ считаем малой, так что площадь поперечного сечения стенки трубы, т.е. площадь кольца с внутренним радиусом $R_1$ и внешним радиусом $R_2=R_1+a,$ достаточно вычислять приближённо: $\pi(R_2^2-R_1^2)\approx 2\pi R_1a.$ Радиус $R_1$ и $a$ - заданные параметры.

Поле $\mathbf{j}$ в полости трубы и снаружи трубы равно нулю. В стенке трубы, т.е. в точках пространства, находящихся от оси $y$ на расстояниях $R=\sqrt{x^2+z^2}$ больших, чем $R_1,$ но меньших, чем $R_1+a,$ поле $\mathbf{j}$ описывается формулами:
$$j_x=-j_1\,\dfrac{z}{R},$$ $$j_z=j_1\,\dfrac{x}{R},$$ $$j_y=j_2,$$ где $j_1$ и $j_2$ это заданные постоянные с размерностью плотности тока. (В задаче Иродова им соответствуют компоненты "линейной плотности тока" $i_{\perp}=j_1 a,$ и $i_{||}=j_2 a.)$


Требуется для двух вариантов найти (выразить через заданные постоянные) величину $\int_S\,\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S},$ где $S$ - плоская поверхность, ограниченная прямоугольным контуром ABCD; см. рисунки ниже. Ориентация поверхности задаётся нормалью $\mathbf{n}:$

г) $n_x=n_y=0,$ $n_z=1.$ Размеры прямоугольника ABCD заданы, это $\Delta x$ и $\Delta y:$

Изображение


д) $n_x=n_z=0,$ $n_y=1.$ Подразумевается, что размеры $\Delta x$ и $\Delta z$ прямоугольника ABCD заданы:

Изображение

Для наглядности в нескольких точках изображены векторы плотности тока $\mathbf{j}.$


Дополнительные вопросы:

e) Изменится ли ответ в случае д) если в роли $S$ вместо прямоугольника выбрать круг с центром на оси $y$ c радиусом $R,$ превышающим внешний радиус трубы $R_2?$

ж) Представим себе, что труба с указанным выше полем плотности тока $\mathbf{j}$ изготовлена намоткой проводящей ленты, как в задаче Иродова. Найти ширину ленты $h$ и силу тока в ленте $I.$

(Решения)

Во всех заданных для рассмотрения случаях в тех точках поверхности $S,$ в которых величина $\mathbf{j}\cdot\mathbf{n}$ отлична от нуля, она оказывается постоянной и поэтому может быть вынесена из под знака интеграла: $$\int_S \,\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}\,=\,(\mathbf{j}\cdot\mathbf{n})\,S\,,$$ где $S$ - площадь того участка заданной поверхности, на котором $\mathbf{j}\cdot\mathbf{n}\neq 0.$ На рисунках такой участок поверхности закрашен тёмным серым цветом.


a) $\mathbf{j}\cdot\mathbf{n}=j,$ где $j=\sqrt{j_x^2+j_y^2+j_z^2}=\sqrt{0^2+3^2+4^2}=5$ единиц плотности тока.

$S=ab=3\cdot 2=6$ единиц площади.

Ответ: $(\mathbf{j}\cdot\mathbf{n})\,S\,= j\,ab.$ Это сила тока $I$ в проводе; численный ответ: $I=5\cdot 6=30$ единиц силы тока.


б) $\mathbf{j}\cdot\mathbf{n}=j_zn_z=j_z=j\,\cos\alpha,$ где $\alpha$ - угол между осью $z$ (вдоль неё направлен вектор $\mathbf{n})$ и вектором $\mathbf{j}.$

$S=a\,\dfrac{b}{\cos\alpha}.$

Ответ: $(\mathbf{j}\cdot\mathbf{n})\,S\,= \,j\,ab\,=\,I.$


в) $\mathbf{j}\cdot\mathbf{n}=j_yn_y=j_y=j\,\cos\alpha,$ где $\alpha$ - угол между осью $y$ (вдоль неё направлен вектор $\mathbf{n})$ и вектором $\mathbf{j}. $

$S=a\,\dfrac{b}{\cos\alpha}.$

Ответ: $(\mathbf{j}\cdot\mathbf{n})\,S\,= \,j\,ab\,=\,I.$


г) $\mathbf{j}\cdot\mathbf{n}=j_1,$

$S=a\,\Delta y.$

Ответ: $(\mathbf{j}\cdot\mathbf{n})\,S\,= \,j_1 a\,\Delta y.$


д) $\mathbf{j}\cdot\mathbf{n}=j_2,$

$S=2\pi R_1 a$ (приближённо).

Ответ: $(\mathbf{j}\cdot\mathbf{n})\,S\,= \,2\pi R_1 a\,j_2.$


e) В варианте с кругом радиуса $R>R_1+a$ ответ такой же: $2\pi R_1 a\,j_2$ (приближённо).


ж) С помощью изображения ленты, подобного приведённому в задаче Иродова, получается ответ для ширины ленты:

$h=2\pi R_1\dfrac{j_2}{j},$

где $j=|\mathbf{j}|=\sqrt{j_1^2+j_2^2}.$

Сила тока в ленте $I$ равна плотности тока $j,$ умноженной на площадь поперечного сечения ленты:

$I=j\,a\,h=2\pi R_1a\,j_2\,.$

Параметры $j_1$ и $j_2$ теперь можно выразить через $h,\,I,$ радиус соленоида $R_1$ и толщину ленты $a:$ $$j_2=j\,\frac{h}{2\pi R_1}=\frac{I}{2\pi R_1a}\,,$$ $$j_1=\sqrt{j^2-j_2^2}=j\sqrt{1-(j_2/j)^2}=\frac{I}{ha}\sqrt{1-(h/2\pi R_1)^2}\,.$$

При этом ответ г) запишется в виде $$j_1 a\,\Delta y = \Delta y\,\frac{I}{h}\sqrt{1-(h/2\pi R_1)^2}$$ Это выражение согласно "теореме о циркуляции" $$\oint_{\partial S}\,\mathbf{B}\cdot d\mathbf{r}=\mu_0\int_S\,\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}$$ (где $\partial S$ есть обозначение границы ориентированной поверхности $S)$ вместе с дополнительными соображениями о картине магнитного поля даёт формулу для магнитного поля $B_{||}=|B_y|$ внутри соленоида: $$B_{||}\,\Delta y = \mu_0 \,\Delta y\,\frac{I}{h}\sqrt{1-(h/2\pi R_1)^2}$$

Ответ е) запишется в виде $$2\pi R_1 a\,j_2=I\,.$$ Умноженное на $\mu_0$ это выражение равно циркуляции магнитного поля по окружности $\partial S$ радиуса $R>R_1+a.$ Таким образом вместе с дополнительными соображениями о картине магнитного поля снаружи соленоида для величины этого поля $B_{\perp}$ получается формула: $$2\pi R\,B_{\perp}=\mu_0 I\,.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group