tupoy_voprosОтветы правильные. (Пожелание: лучше сначала писать решения "в буквах", т.е. в виде выражений, и только в самом конце подставлять в них числовые значения букв. Тогда будет видно, как получаются ответы и почему они разные (или одинаковые) в разных задачках. Если Вы так и делаете в своих вычислениях, то хорошо.)
Вижу, Вы уже разобрались, пока я подготавливал следующее упражнение. Ну, тогда пусть оно тут останется на всякий случай; если Вам оно не надо, то и не делайте его.
(Следующее упражнение:)
Дано: теперь векторное поле

пусть равно нулю в каждой точке пространства вне провода с прямоугольным поперечным сечением. Размеры поперечного сечения провода:

(в единицах длины). Внутри провода векторное поле

отлично от нуля: пусть там в каждой точке мы имеем

(в единицах плотности тока).
Провод длинный, но на рисунках ниже для простоты изображены только кусочки этого провода. Показаны три варианта пересечения провода воображаемой плоской прямоугольной поверхностью

её граничный контур АBCD окружает провод. Найти

в случаях:
а) поверхность

перпендикулярна к

в проводе; её нормаль направлена вдоль


б) нормаль

поверхности

направлена вдоль оси

т.е.


в) нормаль

поверхности

направлена вдоль оси

т.е.


Добавил 04.04.2025 для полноты: (Заключительное упражнение)
Представим себе следующую картину. Пусть такое же ненулевое векторное поле

как в проводе из примера выше, было задано внутри большой пластины толщиной

и эту пластину изогнули (вместе с векторным полем

в ней) так, что получилась труба с толщиной стенки

Часть этой трубы схематично показана ниже на рисунках.
Толщину трубы

считаем малой, так что площадь поперечного сечения стенки трубы, т.е. площадь кольца с внутренним радиусом

и внешним радиусом

достаточно вычислять приближённо:

Радиус

и

- заданные параметры.
Поле

в полости трубы и снаружи трубы равно нулю. В стенке трубы, т.е. в точках пространства, находящихся от оси

на расстояниях

больших, чем

но меньших, чем

поле

описывается формулами:

где

и

это заданные постоянные с размерностью плотности тока. (В задаче Иродова им соответствуют компоненты "линейной плотности тока"

и

Требуется для двух вариантов найти (выразить через заданные постоянные) величину

где

- плоская поверхность, ограниченная прямоугольным контуром ABCD; см. рисунки ниже. Ориентация поверхности задаётся нормалью

г)

Размеры прямоугольника ABCD заданы, это

и


д)

Подразумевается, что размеры

и

прямоугольника ABCD заданы:

Для наглядности в нескольких точках изображены векторы плотности тока

Дополнительные вопросы:
e) Изменится ли ответ в случае д) если в роли

вместо прямоугольника выбрать круг с центром на оси

c радиусом

превышающим внешний радиус трубы

ж) Представим себе, что труба с указанным выше полем плотности тока

изготовлена намоткой проводящей ленты, как в задаче Иродова. Найти ширину ленты

и силу тока в ленте

(Решения)
Во всех заданных для рассмотрения случаях в тех точках поверхности

в которых величина

отлична от нуля, она оказывается постоянной и поэтому может быть вынесена из под знака интеграла:

где

- площадь того участка заданной поверхности, на котором

На рисунках такой участок поверхности закрашен тёмным серым цветом.
a)

где

единиц плотности тока.

единиц площади.
Ответ:

Это сила тока

в проводе; численный ответ:

единиц силы тока.
б)

где

- угол между осью

(вдоль неё направлен вектор

и вектором
Ответ:

в)

где

- угол между осью

(вдоль неё направлен вектор

и вектором

Ответ:

г)
Ответ:

д)

(приближённо).
Ответ:

e) В варианте с кругом радиуса

ответ такой же:

(приближённо).
ж) С помощью изображения ленты, подобного приведённому в задаче Иродова, получается ответ для ширины ленты:
где

Сила тока в ленте

равна плотности тока

умноженной на площадь поперечного сечения ленты:

Параметры

и

теперь можно выразить через

радиус соленоида

и толщину ленты

При этом ответ г) запишется в виде

Это выражение согласно "теореме о циркуляции"

(где

есть обозначение границы ориентированной поверхности

вместе с дополнительными соображениями о картине магнитного поля даёт формулу для магнитного поля

внутри соленоида:

Ответ е) запишется в виде

Умноженное на

это выражение равно циркуляции магнитного поля по окружности

радиуса

Таким образом вместе с дополнительными соображениями о картине магнитного поля снаружи соленоида для величины этого поля

получается формула:
