Уравнение aX^m+bY^n=Z^r

[nimepe]

Рахими Амир(2017)"Элементарный подход к диофантову уравнению $aX^m+bY^n=Z^r$ .Использование центра масс. Журнал математических наук штата Массури 29(2) 115-124:Если предположить,, что гипотеза Била верна , то существует верхняя граница для любого , общего делителя $X,Y,Z$ в выражении $aX^m+bY^n=Z^r$ .Так ли это?

[nimepe]

Опечатка-должно быть Миссури.

[nimepe]

Рассмотрим уравнение $aA^x+bB^y=qC^z$ и запишем его решение в общем виде:

$A=qk_3(aq^{x-1}k_3^x+bq^{y-1}k_4^y)^k{_5}$

-- 01.03.2025, 08:38 --

$B=qk_4(aq^{x-1}k_3^x+bq^{y-1}k_4^y)^k{_6}$

-- 01.03.2025, 08:41 --

$C=(aq^{x-1}k_3^x+bq^{y-1}k_4^y)^u$

-- 01.03.2025, 08:51 --

где $k_5=\frac{k_6y}{x}$

$u=\frac{k_6y+1}{z}$

-- 01.03.2025, 09:01 --

Пусть $k_6=xt$ , тогда $k_5=yt$ , а $u=\frac{xyt+1}{z}

-- 01.03.2025, 09:06 --

$aA^x=qC^z-bB^y$

-- 01.03.2025, 09:07 --

$bB^y=qC^z-aA^x$

-- 01.03.2025, 09:17 --

Для двух последних уравнений можно составить формулы общего решения -внимательный читатель поймет как это сделать.

-- 01.03.2025, 09:26 --

Есть теорема :Если уравнение $A^x+B^y=C^z$ разрешимо в целых числах(при определенных условиях),то производное от этого уравнения $aA^x+bB^y=qC^z$ разрешимо в целых числах при любых значениях $a,b ,q$ отличных от нуля.

[nimepe]

Поэтому первично уравнение $A^x+B^y=C^z$ , а не второе $aA^x+bB^y=qC^z$ .

[nimepe]

По аналогии с указанным уравнением запишем общее решение уравнение Рахими:

$X=k(ak^m+bk_1^n)^{nt}$

$Y=k_1(ak^m+bk_1^n)^{mt}$

$Z=(ak^m+bk_1^n)^{\frac{mnt+1}{r}$

-- 01.03.2025, 11:52 --

Если взять $aX^m=Z^r-bY^n$ и $bY^n=Z^r-aX^m$ то общие формулы решения усложняются:


$Z=ak(a^{r-1}k^r-ba^{n-1}k_1^n)^{nt}$

-- 01.03.2025, 11:56 --

$Y =ak_1(a^{r-1}k^r-ba^{n-1}k_1^n)^{rt}$

-- 01.03.2025, 12:00 --

$X=(a^{r-1}k^r-ba^{n-1}k_1^n)^\frac{nrt+1}{m}$

-- 01.03.2025, 12:06 --

Для третьего уравнения $bY^n=Z^r-aX^m$ попробуйте составить общее решение сами.

[Shadow]

nimepe в сообщении #1677088 писал(а):

запишем общее решение уравнение Рахими:

Ну и каково будет "общее решение" уравнения

$x^3+3y^6=z^2$

[nimepe]

nimepe в сообщении #1676973 писал(а):

Рахими Амир(2017)"Элементарный подход к диофантову уравнению $aX^m+bY^n=Z^r$ .Использование центра масс. Журнал математических наук штата Массури 29(2) 115-124:Если предположить,, что гипотеза Била верна , то существует верхняя граница для любого , общего делителя $X,Y,Z$ в выражении $aX^m+bY^n=Z^r$ .Так ли это?

Shadow , здесь доказывается существует ли верхняя граница для любого общего делителя $X,Y,Z$ .Свои уравнения решайте сами или дайте студентам.

[Ende]

nimepe
Раз Вы претендуете на то, что можете записать

nimepe в сообщении #1677088 писал(а):

общее решение уравнение Рахими

то Вам не составит труда ответить на вопрос

Shadow в сообщении #1677103 писал(а):

Ну и каково будет "общее решение" уравнения

$x^3+3y^6=z^2$

До ответа на него воздержитесь от других сообщений на форуме. В противном случае:
1) Вы получите двухнедельный бан за возобновление темы из пургатория,
2) эта тема отправится вслед за первой
3) Вам будет запрещено создавать темы про диофантовы уравнения вида $A^x + B^y + C^z$ вне раздела "Помогите решить/разобраться (М)".

[nimepe]

Уравнение $x^3+3y^6=z^2$ имеет решение $ x=2^{6d}$ , $y=2^{3d}$ ,

$z=2^{9d+1}$

[Shadow]

Имеет, да. А также имеет

$(1873,39,130870)$

$(2540833,88,4050085583)$

$(3320340721,64951,511703877377158)$

$(22099605479196054241,3850102481,143403774211367540349170651858)$

и т.д бесконечно много решений в взаимнопростых натуральных чисел.
И причем тут "общее решение"