Параметрическое уравнение высоты тр-ка

[Алексей К.]

Someone в сообщении #167634 писал(а):

Во как активно Вам помогают...

Я очень люблю помогать Миронике. У неё (пока) и задачки простые, мне под силу, и щёлкает она их как-то с удовольствием. Повезло, успел встрять...

[Мироника]

Алексей К. писал(а):

Скалярное произведение $AC=(4,-2,-2)$ на $BP=(x(t)-3,y(t)+2,z(t)+2)$ равно нулю.

$4(1+2t-3)-2(2-t+2)-2(-4-t+2)=0$
$4+8t-12-4+2t-4+8+2t-4=0$
$12t-12=0$
$t=1$
$BP=(0;3;-3)$

Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды:

тогда параметрические уравнения высоты ВР имеют вид
$x=3+0t$
$y=-2+3t$
$z=-2-3t$

Добавлено спустя 2 минуты 16 секунд:

А если делать так

ewert писал(а):

Вообще-то эту задачу можно решать кучей способов. Вот, на мой взгляд, логически наиболее прямолинейный (хотя и не самый очевидный).

1). Находим (с помощью векторного произведения) вектор, перпендикулярный к треугольнику.

2). Находим (аналогично) вектор, перпендикулярный к только что найденному и к вектору $\overrightarrow{AC}$.

Это и будет искомый направляющий вектор высоты.

То получим:
$n=ABxAC=(12;12;12)$
$BP=nxAC=(0;72;-72)$

[Алексей К.]

Ну, на проверку всего мне потребуется некоторое время (и маленький огонь на плите), тем более, что координаты интересной точки $P(t_0)$ Вы не привели. Но я проделаю это (медленно).

[Мироника]

P(3;1;-5)

[Алексей К.]

Ну вот, два способа у Вас совпали.

Добавлено спустя 4 минуты 28 секунд:

Заметим, однако, что (0,3,-3) в каком-то смысле равно (0,72,-72) и в каком-то смысле равно (0,999, -999), и в том же смысле равно (0,1,-1). Поэтому люди часто стараются выбрать вектор длины 1 $(0,1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2})$, компоненты которого и будут чисто направляющими косинусами.

Добавлено спустя 18 минут 35 секунд:

Мироника писал(а):

$BP=nxAC=(0;72;-72)$

Это делают командой \times: $BP=n\times AC$. Есть ещё \cdot для точечки: $a\cdot b$

[Мироника]

Спасибо всем огромное!!!! Действительно очень быстро и оперативно помогли разобраться

[ewert]

Ну и уж для полноты картины -- ещё два стандартных способа нахождения пресловутой точки $P$ (т.е. основания высоты).

Способ 1.
а). Строим плоскость, проходящую через $B$ перпендикулярно $\overrightarrow{AC}$ (стандартная подзадача).
б). Находим $P$ как пересечение этой плоскости и прямой $AC$.

Способ 2.
а). Находим вектор $\overrightarrow{AP}$ как проекцию вектора $\overrightarrow{AB}$ на $\overrightarrow{AC}$.
б). Находим $P$, прибавляя координаты $\overrightarrow{AP}$ к координатам точки $A$.

[Мироника]

Дааааа.... Прям глаза разбегаются

[Алексей К.]

Мироника в сообщении #167658 писал(а):

Прям глаза разбегаются

Чтоб глаза обратно сбежались, замечу следующее.
Если у Вас есть задачка $x+y=10$,то к ней можно придумать всякие слова. Но можно придумать другие слова к задчке $x=10-y$ (третьи слова к $y=10-x$). И это будет типа "другой способ решения". В данном случае уравнения повеселее, и допускают больше интертрепаций. Но, полагаю, записав каждый из предложенных способов уравнением или системой, можно легко перейти к другому из способов простыми преобразованиями. И предложить другую интерТреПацию. При желании Вы можете это проверить (и это полезно понимать). Но достаточно поверить, и вернуть глаза обратно.

[Мироника]

Да, спасибо, глаза действительно вернулись назад сами собой. Я просто попробовала записать решения разными способами и всё встало на свои места. Но думаю, что в будущем мне каждый из предложенных способов будет полезен...
Так что ещё раз всем огромное спасибо

[arqady]

Мироника писал(а):

Даны вершины треугольника А(1;2;-4), В(3;-2;-2), С(5;0;-6). Составить параметрическое уравнение его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

ewert писал(а):

Для начала полезно вспомнить (или узнать), что такое параметрические уравнения прямой

имхо, высота треугольника - это отрезок и поэтому искать нужно уравнение отрезка.

[vvvv]

Ой, ребята, что вы мучаете девчину.

[Jnrty]

arqady в сообщении #167723 писал(а):

имхо, высота треугольника - это отрезок и поэтому искать нужно уравнение отрезка.

В задачах по аналитической геометрии под уравнением стороны, высоты и т.п. подразумевается кравнение прямой, на которой лежит эта самая сторона, высота и т.п. Если же нужен именно отезок, можно указать границы изменения параметра.

[arqady]

Jnrty писал(а):

В задачах по аналитической геометрии под уравнением стороны, высоты и т.п. подразумевается кравнение прямой, на которой лежит эта самая сторона, высота и т.п.

На здоровье! Только, по-моему, уравнение отрезка интереснее.

Jnrty писал(а):

Если же нужен именно отезок, можно указать границы изменения параметра.

Просили ведь найти уравнение.

[vvvv]

Так какая проблема?